第1章 式と証明8
POINT
\((x+y)^n\) の展開は二項定理：\(\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_k\,x^k y^{n-k}\)
各項の係数は組合せ \({}_n\mathrm{C}_k\)。特定の項だけ欲しいときは一般項 \({}_n\mathrm{C}_k x^k y^{n-k}\) を使います。
例題
\((x+2)^5\) の展開における \(x^3\) の係数を求めよ。
解説
一般項の \(x^3\) の場合を取り出す。
一般項 \({}_5\mathrm{C}_k\,x^k 2^{5-k}\)二項定理
\(k=3\)：\({}_5\mathrm{C}_3\cdot2^2=10\cdot4=40\)代入
答 \(40\)
第1章 式と証明9
POINT
\((x+y+z)^n\) の \(x^p y^q z^r\) の係数は \(\dfrac{n!}{p!\,q!\,r!}\)（\(p+q+r=n\)）
二項定理の3項版（多項定理）。同じものを含む順列と同じ考え方です。
例題
\((x+y+z)^4\) における \(x^2 y z\) の係数を求めよ。
解説
多項定理の係数公式を使う。
\(\dfrac{4!}{2!\,1!\,1!}\)多項定理
\(=\dfrac{24}{2}=12\)計算
答 \(12\)
第1章 式と証明10
POINT
\({}_n\mathrm{C}_r\) の和が続いたら、二項定理 \((x+1)^n=\sum{}_n\mathrm{C}_k x^k\) を疑う
組合せの和は、\((1+1)^n\) など具体値を代入すると一発です。
例題
\({}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n\) を求めよ。
解説
二項定理に \(x=1\) を代入。
\((1+1)^n=\sum{}_n\mathrm{C}_k\,1^k\)x=1を代入
\(=2^n\)計算
答 \(2^n\)
第1章 式と証明11
POINT
大きな数を割った余りは、①二項定理 ②合同式(mod) で求める
\(a^n\) を割った余りは、底を「割る数の倍数±小さい数」に分けて二項展開するか、mod で計算します。
例題
\(11^{10}\) を \(100\) で割った余りを求めよ。
解説
\(11=1+10\) として二項展開する。
\((1+10)^{10}=1+10\cdot10+{}_{10}\mathrm{C}_2 10^2+\cdots\)二項定理
\(10^2\) 以上は100の倍数 → 余りは \(1+100\equiv1\)mod 100
答 \(1\)
第1章 式と証明12
POINT
「AをBで割ると商Q・余りR」は \(A=BQ+R\)（Rの次数 \(\lt\) Bの次数）と立式
余りの次数は割る式より低いのが鍵。余りを求める問題は、この式に「Bが0になる値」を代入すると速いです。
例題
\(P(x)\) を \((x-1)(x-2)\) で割った余りを求めよ。ただし \(P(1)=3,\ P(2)=5\)。
解説
余りは1次以下 \(ax+b\) とおく。
\(P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b\)A=BQ+R
\(a+b=3,\ 2a+b=5\Rightarrow a=2,b=1\)\(x=1,2\) を代入
答 \(2x+1\)
第1章 式と証明13
POINT
恒等式は ①係数比較 ②数値代入 のどちらかで解く
「すべての \(x\) で成り立つ」のが恒等式。同じ次数の係数を比べるか、都合のよい値を代入して係数を決めます。
例題
\(x^2+3x+2=a(x+1)^2+b(x+1)+c\) が恒等式のとき \(a,b,c\) を求めよ。
解説
代入と係数比較を併用する。
\(x=-1\) を代入 → \(c=0\)数値代入
係数比較で \(a=1,\ b=1\)\(x^2,x\) の係数
答 \(a=1,\ b=1,\ c=0\)
第1章 式と証明14
POINT
等式の証明は ①左辺→右辺 ②右辺→左辺 ③両辺→同じ式 のいずれか
複雑な方の辺を変形して近づけるのが基本。両辺とも複雑なら、両方を変形して同じ形に持ち込みます。
例題
\(a+b+c=0\) のとき \(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\) を示せ。
解説
\((a+b+c)^2\) の展開を利用する。
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\)両辺を変形
左辺 \(=0\) より \(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\)条件を代入
答 成立（示せた）
第1章 式と証明15
POINT
「\(a,b,c\) の少なくとも1つは1」は \((a-1)(b-1)(c-1)=0\) を示す
「少なくとも1つが○」は、その因数の積＝0に言い換えるのが定石です。
例題
「\(a,b,c\) の少なくとも1つが1」を示すには、何が \(0\) であることを示せばよいか。
解説
「1になる」を因数 \((\ \cdot\ -1)\) で表す。
どれかが1 ⇔ \((a-1)(b-1)(c-1)=0\)積が0に言い換え
答 \((a-1)(b-1)(c-1)=0\)
第1章 式と証明16
POINT
不等式 \(A\ge B\) の証明は、\(A-B\ge0\) を示す
差をとって平方などで \(\ge0\) を示すのが基本。等号成立条件も確認します。
例題
解説
差をとって平方にする。
\(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0\)差が平方
よって \(a^2+b^2\ge2ab\)（等号 \(a=b\)）成立
答 成立（\((a-b)^2\ge0\)）
第1章 式と証明17
POINT
\(A,B\ge0\) での \(A\ge B\) は、\(A^2-B^2\ge0\)（2乗の差）でも示せる
根号を含むなど差が扱いにくいときは2乗の差。\(A,B\ge0\) なら \(A^2\ge B^2\Leftrightarrow A\ge B\)。
例題
\(a\ge0,\ b\ge0\) のとき \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\) を示せ。
解説
両辺を2乗して差をとる。
\((\sqrt a+\sqrt b)^2-(a+b)=2\sqrt{ab}\ge0\)2乗の差
両辺0以上なので \(\sqrt a+\sqrt b\ge\sqrt{a+b}\)成立
答 成立
第1章 式と証明18
POINT
文字を大小順に並べる問題は、まず具体的な数値で予想する
証明の前に数値を入れて大小のあたりをつけると、示すべき向きが分かります。無理数は指数をそろえて比較。
例題
\(\sqrt{2}\) と \(\sqrt[3]{3}\) の大小を調べよ。
解説
6乗して指数をそろえる。
\((\sqrt2)^6=8,\ (\sqrt[3]{3})^6=9\)指数をそろえる
\(8\lt9\) より \(\sqrt2\lt\sqrt[3]{3}\)比較
答 \(\sqrt{2}\lt\sqrt[3]{3}\)
第1章 式と証明19
POINT
逆数の和 \(a+\dfrac1a\) が出る不等式は、相加・相乗平均を使う
正の数で \(a+\dfrac1a\ge2\)（等号 \(a=1\)）。積が定数のときの最小値に有効です。
例題
\(a\gt0\) のとき \(a+\dfrac4a\) の最小値を求めよ。
解説
相加・相乗平均の関係を使う。
\(a+\dfrac4a\ge2\sqrt{a\cdot\dfrac4a}=4\)相加相乗平均
等号は \(a=\dfrac4a\Rightarrow a=2\)最小を与える
答 最小値 \(4\)（\(a=2\)）
第1章 式と証明20
POINT
分子の次数が分母以上なら、割り算して分子の次数を下げる
\(\dfrac{（高次）}{（低次）}\) は、まず割り算して「商＋余り/分母」の形に。積分や最大最小で扱いやすくなります。
例題
\(\dfrac{x^2+1}{x+1}\) を「1次式＋分数」の形にせよ。
解説
分子を \((x+1)\) で割る。
\(x^2+1=(x+1)(x-1)+2\)割り算
\(\dfrac{x^2+1}{x+1}=x-1+\dfrac{2}{x+1}\)商＋余り/分母
答 \(x-1+\dfrac{2}{x+1}\)
第1章 式と証明21
「\(x+y=1\)」のような条件は、1文字を消して1変数にすると扱いやすい。変数の範囲の引き継ぎを忘れずに。
例題
\(x+y=2\) のとき \(x^2+y^2\) の最小値を求めよ。
解説
\(y=2-x\) を代入して1変数に。
\(x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4\)文字を減らす
\(=2(x-1)^2+2\)、最小 \(2\)（\(x=1\)）平方完成
答 最小値 \(2\)
第2章 複素数と方程式22
POINT
\(a+bi=0\)（\(a,b\) 実数）なら \(a=b=0\) しかない（複素数の相等）
複素数が \(0\) ⇔ 実部も虚部も \(0\)。「実部＝実部・虚部＝虚部」で係数比較できます。
例題
実数 \(a,b\) が \((a-2)+(b+1)i=0\) を満たすとき \(a,b\) を求めよ。
解説
実部・虚部をそれぞれ \(0\) とする。
\(a-2=0,\ b+1=0\)複素数の相等
\(a=2,\ b=-1\)解く
答 \(a=2,\ b=-1\)
第2章 複素数と方程式23
POINT
複素数を求める問題は、\(z=a+bi\)（\(a,b\) 実数）と置く
実部・虚部を文字で置くと、条件を実部・虚部の連立方程式にできます。
例題
\(z^2=-1\) を満たす複素数 \(z\) を \(z=a+bi\) と置いて求めよ。
解説
2乗して実部・虚部を比べる。
\((a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=-1\)a+biを2乗
\(a^2-b^2=-1,\ 2ab=0\Rightarrow a=0,b=\pm1\)実部・虚部
答 \(z=\pm i\)
第2章 複素数と方程式24
POINT
係数に虚数を含む2次方程式では、判別式は使えない
判別式で実数解・虚数解を判定できるのは係数が実数のときだけ。虚数係数なら解の公式で直接解きます。
例題
「係数に虚数を含む2次方程式の実数解の個数を、判別式の符号で調べる」——これは正しいか。
解説
判別式の前提を確認する。
判別式が使えるのは実数係数のときだけ前提
虚数係数では解の公式で直接解く代わりの方法
答 正しくない（実数係数のときのみ）
第2章 複素数と方程式25
POINT
「複素数の範囲で因数分解」は、解 \(x=\alpha,\beta\) を使い \((x-\alpha)(x-\beta)\)
実数の範囲で因数分解できなくても、2次方程式の解を求めれば必ず因数分解できます。
例題
\(x^2+1\) を複素数の範囲で因数分解せよ。
解説
\(=0\) とおいて解を求める。
\(x^2+1=0\Rightarrow x=\pm i\)解を求める
\((x-i)(x+i)\)\((x-\alpha)(x-\beta)\)
答 \((x-i)(x+i)\)
第2章 複素数と方程式26
POINT
実数係数の方程式が虚数解 \(a+bi\) をもつなら、共役 \(a-bi\) も解
実数係数なら虚数解は必ず共役とペア。だから3次方程式は必ず実数解を1つ以上もちます。
例題
実数係数の3次方程式が \(1+i\) を解にもつとき、もう1つの虚数解を答えよ。
解説
虚数解は共役とペアになる。
\(1+i\) が解 → 共役 \(1-i\) も解実数係数の性質
答 \(1-i\)
第2章 複素数と方程式27
POINT
相反方程式は \(t=x+\dfrac1x\) とおく
係数が左右対称な方程式は、\(x^2\) で割って \(t=x+\dfrac1x\) と置くと次数が半分になります。
例題
\(x^2+\dfrac{1}{x^2}\) を \(t=x+\dfrac1x\) で表せ。
解説
\(t\) を2乗して関係を作る。
\(t^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}\)2乗する
\(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\)移項
答 \(t^2-2\)
第2章 複素数と方程式28
POINT
「2解を \(\alpha,\beta\)」とあれば、解と係数の関係 \(\alpha+\beta=-\dfrac ba,\ \alpha\beta=\dfrac ca\)
解を求めずに和と積が分かる。対称式 \(\alpha^2+\beta^2\) 等は和と積で表せます。
例題
\(x^2-3x+1=0\) の2解を \(\alpha,\beta\) とするとき \(\alpha^2+\beta^2\) を求めよ。
解説
和と積を出してから対称式にあてる。
\(\alpha+\beta=3,\ \alpha\beta=1\)解と係数の関係
\(\alpha^2+\beta^2=3^2-2\cdot1=7\)対称式
答 \(7\)
第2章 複素数と方程式29
POINT
3次方程式 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) の3解は \(\sum\alpha=-a,\ \sum\alpha\beta=b,\ \alpha\beta\gamma=-c\)
3次の解と係数の関係。基本対称式が係数で分かるので、対称式の値が求まります。
例題
\(x^3-6x^2+11x-6=0\) の3解の和と積を求めよ。
解説
係数から直接読む。
和 \(=-(-6)=6\)\(\sum\alpha=-a\)
積 \(=-(-6)=6\)\(\alpha\beta\gamma=-c\)
答 和 \(6\)、積 \(6\)
第2章 複素数と方程式30
POINT
高次方程式が解 \(\alpha\) をもつなら、\((x-\alpha)\) を因数にもつ（因数定理）
\(P(\alpha)=0\) ⇔ \((x-\alpha)\) で割り切れる。1つ解を見つけて割り、次数を下げるのが定石です。
例題
解説
小さい数で解を1つ見つける。
\(x=1\) が解 → \((x-1)\) でくくる因数定理
\((x-1)(x-2)(x+1)=0\)次数を下げる
答 \(x=1,\ 2,\ -1\)
第2章 複素数と方程式31
POINT
整式の割り算の余りは、筆算のほか剰余の定理（\(P(a)\)）でも求まる
\((x-a)\) で割った余りは \(P(a)\)（剰余の定理）。\((x-a)^2\) で割った余りは \(P(a)\) と \(P'(a)\)（微分）から決めます。
例題
\(x^3-2x+1\) を \(x-1\) で割った余りを求めよ。
解説
剰余の定理で \(x=1\) を代入。
余り \(=P(1)=1-2+1\)剰余の定理
\(=0\)計算
答 \(0\)
第2章 複素数と方程式32
POINT
\(x=\dfrac{-1\pm\sqrt3\,i}{2}\) が出たら、\(\omega^3=1,\ \omega^2+\omega+1=0\) を使う
これは1の虚立方根 \(\omega\)。\(\omega^3=1\) と \(\omega^2+\omega+1=0\) で高次の式が一気に簡単になります。
例題
\(\omega\) を1の虚立方根とするとき \(\omega^{100}\) を求めよ。
解説
\(\omega^3=1\) で指数を落とす。
\(\omega^{100}=(\omega^3)^{33}\cdot\omega\)\(\omega^3=1\)
\(=\omega\)計算
答 \(\omega^{100}=\omega\)
第2章 複素数と方程式33
POINT
高次不等式は、因数分解してグラフ（x軸との交点）で解く
因数分解して各因数の符号を調べ、グラフが正/負になる範囲を読みます。
例題
\((x-1)(x-2)(x-3)\gt0\) を解け。
解説
交点 \(1,2,3\) で符号を追う。
3次の係数は正 → 右端が正符号の変化
正になるのは \(1\lt x\lt2,\ x\gt3\)グラフで読む
答 \(1\lt x\lt2,\ x\gt3\)
第3章 図形と方程式34
POINT
2点 \((a,b),(c,d)\) の距離は \(\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\)
座標での距離は三平方の定理そのもの。x・yの差を2辺とする直角三角形の斜辺です。
例題
2点 \((1,1),(4,5)\) の距離を求めよ。
解説
差の平方和の平方根をとる。
\(\sqrt{(1-4)^2+(1-5)^2}=\sqrt{9+16}\)三平方
\(=\sqrt{25}=5\)計算
答 \(5\)
第3章 図形と方程式35
POINT
\(A,B\) を \(m:n\) に内分する点は \(\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)
各座標を\(m:n\) に配分。中点は \(1:1\)（両座標の平均）です。
例題
\(A(0,0),B(6,3)\) を \(1:2\) に内分する点を求めよ。
解説
内分の公式に \(m=1,n=2\) を代入。
\(x=\dfrac{2\cdot0+1\cdot6}{3}=2\)x座標
\(y=\dfrac{2\cdot0+1\cdot3}{3}=1\)y座標
答 \((2,1)\)
第3章 図形と方程式36
POINT
\(m:n\) の外分は、\(m:(-n)\) の内分と同じ（公式で \(n\to-n\)）
外分点は線分の外側。内分の公式で \(n\) を \(-n\) にすれば求まります。
例題
\(A(1,2),B(4,8)\) を \(2:1\) に外分する点を求めよ。
解説
\(2:(-1)\) の内分として計算する。
\(x=\dfrac{-1\cdot1+2\cdot4}{2-1}=7\)\(n\to-n\)
\(y=\dfrac{-1\cdot2+2\cdot8}{1}=14\)y座標
答 \((7,14)\)
第3章 図形と方程式37
POINT
2直線が平行 ⇔ 傾きが等しい（\(m_1=m_2\)）
傾きが同じなら平行。切片が違えば交わらない2直線です。
例題
直線 \(y=2x+1\) に平行で、点 \((0,3)\) を通る直線を求めよ。
解説
傾きは同じ、切片は通る点から決める。
傾き \(=2\)（平行）\(m_1=m_2\)
\((0,3)\) を通る → \(y=2x+3\)切片3
答 \(y=2x+3\)
第3章 図形と方程式38
POINT
2直線が垂直 ⇔ 傾きの積が \(-1\)（\(m_1 m_2=-1\)）
一方の傾きが \(m\) なら、垂直な直線の傾きは \(-\dfrac1m\)（逆数の符号違い）。
例題
直線 \(y=2x+1\) に垂直で原点を通る直線を求めよ。
解説
傾きの積が \(-1\) になるようにとる。
垂直な傾き \(=-\dfrac12\)\(2\times(-\tfrac12)=-1\)
原点を通る → \(y=-\dfrac12 x\)切片0
答 \(y=-\dfrac12 x\)
第3章 図形と方程式39
POINT
線分ABの垂直二等分線は「ABの中点を通り、ABに垂直」な直線
中点を通り、傾きはABの傾きの垂直。「2点A,Bから等距離の点の軌跡」とも言えます。
例題
\(A(0,0),B(4,2)\) の垂直二等分線を求めよ。
解説
中点と、垂直な傾きを求める。
中点 \((2,1)\)、ABの傾き \(\tfrac12\) → 垂直は \(-2\)中点・垂直
\(y-1=-2(x-2)\Rightarrow y=-2x+5\)式にする
答 \(y=-2x+5\)
第3章 図形と方程式40
POINT
直線 \(l\) に関して点Aと対称な点は「ABの中点が \(l\) 上」「ABが \(l\) に垂直」で決める
折り返しの点。中点条件と垂直条件の2式を立てて連立します。
例題
直線 \(y=x\) に関して点 \((3,1)\) と対称な点を求めよ。
解説
\(y=x\) の折り返しは座標を入れ替える。
中点が \(y=x\) 上・ABが垂直2条件
\((3,1)\to(1,3)\)x,yを交換
答 \((1,3)\)
第3章 図形と方程式41
POINT
同じ側の2点で \(AP+PB\) の最小は、一方の対称点をとって直線で結ぶ
Bの\(l\) に関する対称点 \(B'\) をとると \(AP+PB=AP+PB'\)。A,\(B'\) を結ぶ直線と \(l\) の交点で最小です。
例題
直線 \(l\) の同じ側にある A,B で \(AP+PB\) を最小にする \(P\) の求め方を述べよ。
解説
対称点で折れ線をまっすぐにする。
Bの対称点 \(B'\) をとる\(PB=PB'\)
\(AB'\) と \(l\) の交点が \(P\)直線が最短
答 対称点 \(B'\) を使い \(AB'\) と \(l\) の交点
第3章 図形と方程式42
POINT
点 \((x_1,y_1)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離は \(\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
分子は点を代入した絶対値、分母は係数の平方和の平方根。当てはめるだけです。
例題
原点 \((0,0)\) と直線 \(3x+4y-10=0\) の距離を求めよ。
解説
点を代入して公式にあてる。
\(\dfrac{|3\cdot0+4\cdot0-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}\)点と直線の距離
\(=\dfrac{10}{5}=2\)計算
答 \(2\)
第3章 図形と方程式43
POINT
原点Oと2点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) の三角形の面積は \(\dfrac12|x_1 y_2-x_2 y_1|\)
原点を頂点とする三角形はこの公式で一発。一般の三角形は1頂点を原点に平行移動して使います。
例題
\(O,\ A(3,1),\ B(1,4)\) の三角形の面積を求めよ。
解説
面積公式に座標を代入。
\(\dfrac12|3\cdot4-1\cdot1|\)\(\frac12|x_1y_2-x_2y_1|\)
\(=\dfrac12\cdot11=\dfrac{11}{2}\)計算
答 \(\dfrac{11}{2}\)
第3章 図形と方程式44
POINT
平行四辺形の残り1点は「対角線が中点で交わる」で求める
平行四辺形ABCDではACの中点＝BDの中点。これで残り1頂点が決まります。
例題
\(A(0,0),B(3,0),C(4,2)\) を頂点とする平行四辺形ABCDの点Dを求めよ。
解説
ACの中点とBDの中点を一致させる。
ACの中点 \((2,1)\)対角線の中点
\(D=2(2,1)-B=(1,2)\)中点一致
答 \(D(1,2)\)
第3章 図形と方程式45
POINT
「\(k\) がどんな値でも通る定点」は、\(k\) で整理して \(k\) の係数を \(0\) にする
式を \(k(\ )+(\ )=0\) と\(k\) について整理し、両方の \((\ )=0\) を連立すると定点が出ます。
例題
直線 \(y=k(x-2)+3\) が \(k\) によらず通る定点を求めよ。
解説
\(k\) について整理する。
\(k(x-2)+(3-y)=0\)kで整理
\(x-2=0,\ 3-y=0\Rightarrow(2,3)\)係数を0に
答 \((2,3)\)
第3章 図形と方程式46
POINT
2直線 \(A=0,B=0\) の交点を通る直線は \(A+kB=0\) と表せる
交点を求めなくても、束 \(A+kB=0\) で交点を通る直線族が書けます。条件から \(k\) を決めます。
例題
2直線 \(x+y-3=0,\ x-y-1=0\) の交点と原点を通る直線を求めよ。
解説
束の式に原点を代入して \(k\) を決める。
\((x+y-3)+k(x-y-1)=0\)A+kB
原点で \(k=-3\) → \(y=\dfrac12 x\)代入して整理
答 \(y=\dfrac12 x\)
第3章 図形と方程式47
POINT
3直線が三角形を作らない ⇔ ①3直線が1点で交わる ②2直線が平行
三角形にならないのは1点に集まるか平行で交わらないとき。両方を調べます。
例題
3直線が三角形を作らないのは、どんな場合か2つ挙げよ。
解説
「囲めない」状況を2つに分ける。
① 3直線が1点で交わる交点が1つ
② いずれか2直線が平行交わらない
答 ① 1点で交わる ② 2直線が平行
第3章 図形と方程式48
POINT
中心 \((a,b)\)、半径 \(r\) の円は \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
中心からの距離が \(r\) の点の集合。展開形 \(x^2+y^2+lx+my+n=0\) は平方完成で中心・半径に戻せます。
例題
中心 \((1,-2)\)、半径 \(3\) の円の方程式を求めよ。
解説
公式に中心・半径を入れる。
\((x-1)^2+(y-(-2))^2=3^2\)\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
答 \((x-1)^2+(y+2)^2=9\)
第3章 図形と方程式49
POINT
3点を通る円は、\(x^2+y^2+lx+my+n=0\) に代入して係数を決める
一般形に3点を代入して連立。中心・半径が未知でも1次の連立で解けます。
例題
3点 \((0,0),(2,0),(0,4)\) を通る円を求めよ。
解説
一般形に3点を代入する。
\((0,0)\to n=0\)、\((2,0)\to l=-2\)代入
\((0,4)\to m=-4\)残りを決定
答 \(x^2+y^2-2x-4y=0\)
第3章 図形と方程式50
POINT
\((x-a)^2+(y-b)^2=k\) は、\(k\gt0\) で円・\(k=0\) で1点・\(k\lt0\) で図形なし
平方完成した右辺 \(k\) の符号で図形が決まります。\(k=r^2\gt0\) のときだけ円。
例題
\(x^2+y^2-2x+4y+5=0\) はどんな図形か。
解説
平方完成して右辺を見る。
\((x-1)^2+(y+2)^2=1+4-5=0\)平方完成
\(k=0\) なので1点場合分け
答 1点 \((1,-2)\)
第3章 図形と方程式51
POINT
円と直線の位置は、「中心と直線の距離 \(d\)」と「半径 \(r\)」を比べる
\(d\lt r\) で2点・\(d=r\) で接する・\(d\gt r\) で交わらない。判別式でも同じ判定です。
例題
円 \(x^2+y^2=4\) と直線 \(y=x+1\) は交わるか。
解説
中心と直線の距離を半径と比べる。
\(d=\dfrac{|0-0+1|}{\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\)点と直線の距離
\(d\lt r=2\) → 2点で交わる比較
答 2点で交わる
第3章 図形と方程式52
POINT
円の接線は「中心と接線の距離＝半径」で求める（方法①）
接線を \(y=mx+k\) と置き、中心との距離＝\(r\) の式で決めます。接線を円に代入して重解、でも可（方法③）。
例題
円 \(x^2+y^2=4\) に接し、傾き \(1\) の接線を求めよ。
解説
\(y=x+k\) と中心の距離を \(r\) に。
\(\dfrac{|k|}{\sqrt2}=2\Rightarrow|k|=2\sqrt2\)距離＝半径
\(y=x\pm2\sqrt2\)\(k=\pm2\sqrt2\)
答 \(y=x\pm2\sqrt2\)
第3章 図形と方程式53
POINT
円 \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \((x_1,y_1)\) での接線は \(x_1 x+y_1 y=r^2\)（方法②）
接点が分かるときはこの公式が最速。中心 \((a,b)\) なら \((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\)。
例題
円 \(x^2+y^2=5\) 上の点 \((1,2)\) における接線を求めよ。
解説
接点公式にそのまま代入。
\(1\cdot x+2\cdot y=5\)\(x_1x+y_1y=r^2\)
答 \(x+2y=5\)
第3章 図形と方程式54
POINT
2円の位置は、「中心間の距離 \(d\)」と「半径の和・差」を比べる
\(d=r_1+r_2\) 外接／\(|r_1-r_2|\lt d\lt r_1+r_2\) 2点交わる／\(d=|r_1-r_2|\) 内接。
例題
円 \(x^2+y^2=1\) と \((x-3)^2+y^2=4\) の位置関係を答えよ。
解説
中心間距離と半径の和を比べる。
中心 \((0,0),(3,0)\) → \(d=3\)中心間距離
\(r_1+r_2=1+2=3=d\) → 外接和と一致
答 外接
第3章 図形と方程式55
POINT
円が直線から切り取る弦の長さは \(2\sqrt{r^2-d^2}\)（三平方）
弦の半分 \(=\sqrt{r^2-d^2}\)（\(d\)＝中心と直線の距離）。半径・距離・弦の半分で直角三角形をつくります。
例題
円 \(x^2+y^2=25\) が直線 \(x=3\) から切り取る弦の長さを求めよ。
解説
中心と直線の距離を出して三平方。
\(d=3,\ r=5\)距離と半径
弦 \(=2\sqrt{25-9}=2\cdot4=8\)\(2\sqrt{r^2-d^2}\)
答 \(8\)
第3章 図形と方程式56
POINT
直線 \(y=ax+b\) の上側は \(y\gt ax+b\)、下側は \(y\lt ax+b\)
不等式の領域は境界線で分けた片側。境界を含むかは \(\ge,\le\)（含めば実線）で決めます。
例題
不等式 \(y\gt x+1\) の表す領域を答えよ。
解説
境界の上下で判定する。
\(y\gt x+1\) → 直線の上側上側
答 直線 \(y=x+1\) の上側
第3章 図形と方程式57
POINT
円 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) の内側は \(\lt r^2\)、外側は \(\gt r^2\)
中心からの距離が半径より小さい＝内側。\((x-a)^2+(y-b)^2\lt r^2\) が円の内部です。
例題
解説
半径との大小で内外を判定。
\(x^2+y^2\lt4=2^2\) → 内側\(\lt r^2\)
答 中心O・半径2の円の内部
第3章 図形と方程式58
POINT
下に凸の放物線 \(y=x^2\) の内側は \(y\gt x^2\)、外側は \(y\lt x^2\)
放物線のくぼみ側（上）が内側。\(y\gt x^2\) が放物線より上の領域です。
例題
解説
放物線の上下で判定する。
\(y\gt x^2\) → 放物線の内側（上）内側
答 放物線 \(y=x^2\) の内側（上側）
第3章 図形と方程式59
POINT
\(A\cdot B\gt0\) は「\(A\gt0\) かつ \(B\gt0\)」または「\(A\lt0\) かつ \(B\lt0\)」
積が正＝同符号。積が負なら異符号。領域や場合分けで頻出です。
例題
\((x-1)(y-2)\gt0\) を満たす領域を場合分けで表せ。
解説
同符号の2通りに分ける。
\(x\gt1\) かつ \(y\gt2\)ともに正
または \(x\lt1\) かつ \(y\lt2\)ともに負
答 \((x\gt1,\ y\gt2)\) または \((x\lt1,\ y\lt2)\)
第3章 図形と方程式60
POINT
線分ABが直線と交わる ⇔ A,Bを代入した値が異符号（\(f(A)\cdot f(B)\lt0\)）
直線 \(f(x,y)=0\) に対し、A,Bが反対側にあれば線分は直線と交わります。
例題
線分ABが直線 \(f=0\) と交わる条件を、代入した値で述べよ。
解説
A,Bが反対側にある条件を式に。
\(f(A)\) と \(f(B)\) が異符号反対側
\(f(A)\cdot f(B)\lt0\)積が負
答 \(f(A)\cdot f(B)\lt0\)
第3章 図形と方程式61
POINT
軌跡は、動く点を \(P(X,Y)\) と置き、\(X,Y\) の関係式を作る
条件を\(X,Y\) だけの式にすれば軌跡の方程式。最後に \(X,Y\) を \(x,y\) に戻します。
例題
点 \(A(2,0)\) からの距離が \(3\) である点Pの軌跡を求めよ。
解説
\(P(X,Y)\) と置いて距離を式に。
\(\sqrt{(X-2)^2+Y^2}=3\)距離の条件
\((x-2)^2+y^2=9\)2乗して整理
答 \((x-2)^2+y^2=9\)（円）
第3章 図形と方程式62
POINT
\(AP:PB=m:n\)（\(m\ne n\)）で動く点Pは円をえがく（アポロニウスの円）
2定点からの距離の比が一定の点の軌跡は円。\(n^2\,AP^2=m^2\,PB^2\) から関係式を立てます。
例題
\(A(0,0),B(6,0)\) で \(AP:PB=1:2\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。
解説
\(2AP=PB\) を2乗して整理。
\(4(X^2+Y^2)=(X-6)^2+Y^2\)\(4AP^2=PB^2\)
\((x+2)^2+y^2=16\)整理
答 \((x+2)^2+y^2=16\)（円）
第3章 図形と方程式63
POINT
通過領域は、\(k\) の方程式とみて「実数 \(k\) が存在する条件」を求める
\(k\) について整理し、実数解をもつ条件（判別式など）を \(x,y\) の不等式にします。それが通過領域。
例題
直線 \(y=2kx-k^2\)（\(k\) は実数）が通る範囲を求めよ。
解説
\(k\) の2次方程式とみる。
\(k^2-2xk+y=0\) が実数解をもつkで整理
判別式 \(x^2-y\ge0\Rightarrow y\le x^2\)実数条件
答 \(y\le x^2\)
第3章 図形と方程式64
POINT
\(x+y=s,\ xy=t\) と置くとき、「\(x,y\) は実数」を \(s^2\ge4t\) で引き継ぐ
\(x,y\) は \(u^2-su+t=0\) の2解。実数条件は判別式 \(s^2-4t\ge0\)。これを忘れると範囲を誤ります。
例題
実数 \(x,y\) が \(x+y=2\) を満たすとき \(xy\) の最大値を求めよ。
解説
実数条件 \(s^2\ge4t\) を使う。
\(s=2\)：\(2^2\ge4t\Rightarrow t\le1\)実数条件
\(xy\) の最大は \(1\)（\(x=y=1\)）上限
答 最大値 \(1\)
第3章 図形と方程式65
POINT
2変数関数の最大・最小は、条件の領域と「関数\(=k\)」が交わる \(k\) の範囲で求める
「\(=k\)」を直線とみて、条件の領域と共有点をもつ \(k\) の最大・最小を図で読みます（線形計画法）。
例題
\(x+y\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\) のとき \(x+2y\) の最大値を求めよ。
解説
領域の頂点で \(x+2y\) を比べる。
頂点 \((0,0),(4,0),(0,4)\) を代入頂点で調べる
\((0,4)\) で最大 \(0+2\cdot4=8\)線形計画法
答 最大値 \(8\)
第4章 三角関数66
POINT
\(\sin k\theta\) の周期は \(\dfrac{2\pi}{k}\)（\(k\theta=2\pi\) となる \(\theta\)）
グラフが1回りする幅が周期。\(\sin,\cos\) は \(\dfrac{2\pi}{k}\)、\(\tan\) は \(\dfrac{\pi}{k}\)。
例題
\(y=\sin2\theta\) の周期を求めよ。
解説
\(k=2\) を公式に入れる。
周期 \(=\dfrac{2\pi}{2}=\pi\)\(2\pi/k\)
答 \(\pi\)
第4章 三角関数67
POINT
三角方程式・不等式は、まず角を \(\theta\) に揃える
\(2\theta,\ \theta+\frac{\pi}{3}\) など角がバラバラなら統一。加法定理や倍角で角をそろえてから解きます。
例題
\(\sin2\theta=\cos\theta\)（\(0\le\theta\lt2\pi\)）を解け。
解説
2倍角で角を \(\theta\) にそろえる。
\(2\sin\theta\cos\theta=\cos\theta\)2倍角
\(\cos\theta(2\sin\theta-1)=0\)因数分解
答 \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{3\pi}{2}\)
第4章 三角関数68
POINT
三角方程式は \(\cos\theta\)（or \(\sin,\tan\)）だけで表して2次に持ち込む
\(\sin^2=1-\cos^2\) で1種類の三角関数に統一して2次方程式に。\(a\sin+b\cos\) なら合成します。
例題
\(2\cos^2\theta+\sin\theta-1=0\)（\(0\le\theta\lt2\pi\)）を解け。
解説
\(\cos^2=1-\sin^2\) で \(\sin\) に統一。
\(2\sin^2\theta-\sin\theta-1=0\)1種類に
\((2\sin\theta+1)(\sin\theta-1)=0\)因数分解
答 \(\theta=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\)
第4章 三角関数69
POINT
2直線のなす角は \(\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\)
各直線の傾き＝\(\tan\)（傾き角）。差の正接の公式で角を出します。
例題
傾き \(1\) と傾き \(\dfrac13\) の2直線のなす角 \(\theta\) の \(\tan\theta\) を求めよ。
解説
傾きを \(\tan\) とみて公式に入れる。
\(\dfrac{1-\frac13}{1+1\cdot\frac13}=\dfrac{2/3}{4/3}\)差の正接
\(=\dfrac12\)計算
答 \(\tan\theta=\dfrac12\)
第4章 三角関数70
POINT
加法定理 \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)（符号が逆）
「コスコス マイナス サインサイン」。ゴロ「勝ったが、茎轢かれて死す」。符号が左右で逆になるのに注意。
例題
解説
\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\) と分ける。
\(\cos45\cos30-\sin45\sin30\)加法定理
\(=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)計算
答 \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)
第4章 三角関数71
POINT
加法定理 \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)（符号は同じ）
「サインコス プラス コスサイン」。ゴロ「反ったが、咳だして屈す」。cosと違い符号はそのまま。
例題
解説
\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\) と分ける。
\(\sin45\cos30+\cos45\sin30\)加法定理
\(=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)計算
答 \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
第4章 三角関数72
POINT
2倍角：\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta,\ \cos2\theta=1-2\sin^2\theta\)
加法定理で \(\alpha=\beta=\theta\) とした形。\(\cos2\theta\) は \(2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta\) の3表現。
例題
\(\sin\theta=\dfrac35\)（鋭角）のとき \(\cos2\theta\) を求めよ。
解説
\(\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\) を使う。
\(1-2\cdot\dfrac{9}{25}=1-\dfrac{18}{25}\)2倍角
\(=\dfrac{7}{25}\)計算
答 \(\dfrac{7}{25}\)
第4章 三角関数73
POINT
半角：\(\sin^2\dfrac\theta2=\dfrac{1-\cos\theta}{2},\ \cos^2\dfrac\theta2=\dfrac{1+\cos\theta}{2}\)
2倍角 \(\cos\theta=1-2\sin^2\frac\theta2\) を変形した形。次数を下げるのに使います（積分でも頻出）。
例題
\(\cos\theta=\dfrac12\) のとき \(\sin^2\dfrac\theta2\) を求めよ。
解説
半角の公式に代入。
\(\dfrac{1-\frac12}{2}=\dfrac{1}{4}\)\(\frac{1-\cos\theta}{2}\)
答 \(\dfrac14\)
第4章 三角関数74
POINT
3倍角：\(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta,\ \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\)
加法定理 \(\sin(2\theta+\theta)\) から導けます。「サンシャイン引く4サイン3乗」で暗記。
例題
\(\sin3\theta\) を \(\sin\theta\) で表せ。
解説
3倍角の公式そのもの。
\(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)3倍角
答 \(3\sin\theta-4\sin^3\theta\)
第4章 三角関数75
POINT
\(a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha)\)（三角関数の合成）
\(a\sin+b\cos\) を1つの \(\sin\) にまとめる。振幅は \(\sqrt{a^2+b^2}\)。最大・最小に有効です。
例題
\(\sin\theta+\cos\theta\) を1つの \(\sin\) にまとめ、最大値を求めよ。
解説
振幅 \(\sqrt{1^2+1^2}\) でまとめる。
\(=\sqrt2\sin\!\left(\theta+\dfrac\pi4\right)\)合成
最大値は振幅の \(\sqrt2\)\(\sin=1\) のとき
答 \(\sqrt2\sin\!\left(\theta+\dfrac\pi4\right)\)、最大値 \(\sqrt2\)
第4章 三角関数76
POINT
三角関数の積は積和の公式、和は和積の公式で変形（ともに加法定理から）
積 \(\sin\alpha\cos\beta\) は積和で和に、和 \(\sin A+\sin B\) は和積で積に直します。
例題
\(\sin\alpha\cos\beta\) を和の形に直せ。
解説
積和の公式を使う。
\(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\)積和
答 \(\dfrac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\)
第4章 三角関数77
POINT
\(\sin36^\circ,\cos36^\circ\) は、\(5\theta=180^\circ\) を使って求める
\(\theta=36^\circ\) を5倍して \(5\theta=180^\circ\)。\(3\theta=180^\circ-2\theta\) より \(\sin3\theta=\sin2\theta\) として3倍角・2倍角で方程式化します。
例題
\(\cos36^\circ\) を求める方針を述べよ。
解説
5倍して半周にする。
\(5\theta=180^\circ\Rightarrow\sin3\theta=\sin2\theta\)3θ=180°-2θ
3倍角・2倍角で \(\cos36^\circ\) の方程式に方程式化
答 \(5\theta=180^\circ\) から \(\sin3\theta=\sin2\theta\) を立式
第4章 三角関数78
POINT
\(\tan\dfrac\theta2=t\) なら \(\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2},\ \cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)
2倍角から導ける置換。三角関数を \(t\) の有理式に変えられ、積分（数III）などで有効です。
例題
\(\tan\dfrac\theta2=t\) のとき \(\sin\theta\) を \(t\) で表せ。
解説
半角置換の公式を使う。
\(\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}\)半角置換
答 \(\dfrac{2t}{1+t^2}\)
第5章 指数・対数関数79
POINT
指数方程式・不等式は、\(t=a^x\)（\(t\gt0\)）と置いて \(t\) の方程式に帰着
\(a^{2x}=(a^x)^2=t^2\) のように\(a^x\) のかたまりを \(t\) に。\(t\gt0\) の条件を忘れずに。
例題
\(4^x-3\cdot2^x-4=0\) を解け。
解説
\(t=2^x\gt0\) と置く。
\(t^2-3t-4=0\Rightarrow(t-4)(t+1)=0\)tの2次
\(t=4\)（\(t=-1\)不適）→ \(2^x=4\)t>0で絞る
答 \(x=2\)
第5章 指数・対数関数80
POINT
指数関数の最大・最小は、\(t=a^x\)（\(t\gt0\)）と置いて \(t\) の関数にする
\(4^x-2^{x+1}\) 等は\(t=2^x\) で2次関数に。定義域 \(t\gt0\) での最大最小を求めます。
例題
\(y=4^x-2^{x+1}+3\) の最小値を求めよ。
解説
\(t=2^x\gt0\) で2次関数に。
\(y=t^2-2t+3=(t-1)^2+2\)平方完成
\(t=1\)（\(x=0\)）で最小 \(2\)頂点
答 最小値 \(2\)（\(x=0\)）
第5章 指数・対数関数81
POINT
\(a^{\log_a M}=M\)（\(X=a^{\log\sim}\) とおき \(\log_a\) をとる）
指数と対数は逆演算。\(a^{\log_a M}=M\) は最重要。底が違うときは \(X\) とおいて両辺の \(\log\) をとります。
例題
解説
指数と対数は打ち消し合う。
\(3^{\log_3 5}=5\)\(a^{\log_a M}=M\)
答 \(5\)
第5章 指数・対数関数82
POINT
指数の大小は、底を揃えるか、同じだけ \(n\) 乗して比べる
\(4^b=2^{2b}\) のように底を統一。指数がそろわないときは両方を同じ数乗して比較します。
例題
\(2^{30}\) と \(3^{20}\) の大小を比べよ。
解説
指数を10でそろえる。
\(2^{30}=8^{10},\ 3^{20}=9^{10}\)\(( )^{10}\) に
\(8\lt9\) → \(2^{30}\lt3^{20}\)比較
答 \(2^{30}\lt3^{20}\)
第5章 指数・対数関数83
POINT
対数が出たら、真数条件（真数 \(\gt0\)）・底の条件（\(\gt0,\ne1\)）を真っ先に確認
\(\log_a M\) は\(M\gt0\)、\(a\gt0,a\ne1\) が大前提。解いた後に真数条件で解を絞ります。
例題
\(\log_2(x-1)\) が定義される \(x\) の範囲を答えよ。
解説
真数を正にする。
\(x-1\gt0\)真数条件
\(x\gt1\)範囲
答 \(x\gt1\)
第5章 指数・対数関数84
POINT
底の変換公式：\(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)
底をそろえる最重要公式。好きな底 \(c\) に統一して計算します。\(\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}\) も便利。
例題
解説
底を2にそろえる。
\(\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}\)底の変換
答 \(\dfrac32\)
第5章 指数・対数関数85
POINT
指数関数 \(y=a^x\) と対数関数 \(y=\log_a x\) は互いに逆関数（\(y=x\) に対称）
対数は指数の逆。グラフは\(y=x\) で折り返した形。\(a\gt1\) なら両方とも増加します。
例題
解説
\(x\) と \(y\) を入れ替える。
\(y=2^x\Leftrightarrow x=2^y\Leftrightarrow y=\log_2 x\)逆関数
答 \(y=\log_2 x\)
第5章 指数・対数関数86
POINT
対数方程式・不等式は、\(t=\log_a x\) と置いて \(t\) の方程式に帰着
\((\log x)^2\) のような式は\(\log x=t\) で2次方程式に。最後に真数条件で解を確認します。
例題
\((\log_2 x)^2-3\log_2 x+2=0\) を解け。
解説
\(t=\log_2 x\) と置く。
\(t^2-3t+2=0\Rightarrow(t-1)(t-2)=0\)tの2次
\(t=1,2\) → \(x=2,4\)戻す
答 \(x=2,\ 4\)
第5章 指数・対数関数87
POINT
対数の大小は、\(1\lt\)底 なら真数の大小と一致、\(0\lt\)底\(\lt1\) なら反対
底が1より大きいと増加（真数大＝対数大）、1より小さいと減少（逆転）。不等式で向きに注意。
例題
\(\log_{0.5}3\) と \(\log_{0.5}5\) の大小を比べよ。
解説
底 \(0.5\lt1\) なので大小は逆転。
真数 \(3\lt5\) だが底が \(\lt1\)減少
\(\log_{0.5}3\gt\log_{0.5}5\)反対
答 \(\log_{0.5}3\gt\log_{0.5}5\)
第5章 指数・対数関数88
POINT
正の整数 \(x\) が \(n\) 桁 ⇔ \(n-1\le\log_{10}x\lt n\)
\(\log_{10}x\) の整数部分＋1が桁数。大きな数の桁数は常用対数で求めます。
例題
\(2^{10}\) は何桁か。（\(\log_{10}2=0.3010\)）
解説
常用対数の整数部分を見る。
\(\log_{10}2^{10}=10\times0.3010=3.010\)対数をとる
\(3\le3.010\lt4\) → 4桁整数部分+1
答 \(4\) 桁
第5章 指数・対数関数89
POINT
小数で初めて \(0\) でない数字が第 \(n\) 位 ⇔ \(-n\le\log_{10}x\lt-n+1\)
小さな正の数は\(\log_{10}x\) が負。その整数部分から、初めて0でない位が分かります。
例題
\(\left(\dfrac12\right)^{10}\) は小数第何位に初めて \(0\) でない数字が出るか。（\(\log_{10}2=0.3010\)）
解説
常用対数（負）の整数部分を見る。
\(\log_{10}\left(\tfrac12\right)^{10}=-3.010\)対数をとる
\(-4\le-3.010\lt-3\) → 第4位\(-n\le\cdots\)
答 小数第 \(4\) 位
第5章 指数・対数関数90
POINT
最高位の数字は、\(10^{整数+r}\)（\(0\le r\lt1\)）の \(10^r\) の値から決める
常用対数の小数部分 \(r\) が最高位を決めます。\(10^r\) が何と何の間かで最高位の数字が分かります。
例題
\(3^{20}\) の最高位の数字を求めよ。（\(\log_{10}3=0.4771\)）
解説
対数の小数部分から \(10^r\) を見る。
\(\log_{10}3^{20}=9.542=9+0.542\)対数をとる
\(10^{0.542}\approx3.5\) → 最高位は3小数部分
答 最高位は \(3\)
第6章 微分法91
POINT
多項式は \((x^n)'=nx^{n-1}\) で項ごとに微分する
定数は0、\(x\) は1。各項を \(nx^{n-1}\) にして足すだけ。導関数 \(f'(x)\) は接線の傾きを与えます。
例題
\(f(x)=x^3-3x+1\) の \(f'(x)\) を求めよ。
解説
各項を \(nx^{n-1}\) にする。
\(f'(x)=3x^2-3\)項ごとに微分
答 \(f'(x)=3x^2-3\)
第6章 微分法92
POINT
\(x=a\) から \(b\) の平均変化率は \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
2点を結ぶ直線の傾き。\(b\to a\) の極限が微分係数 \(f'(a)\)（接線の傾き）です。
例題
\(f(x)=x^2\) の \(x=1\) から \(3\) の平均変化率を求めよ。
解説
2点の \(y\) の差を \(x\) の差で割る。
\(\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4\)平均変化率
答 \(4\)
第6章 微分法93
POINT
微分係数は \(f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)（接線の傾き）
平均変化率の極限。\(x=a\) での接線の傾きを表します。
例題
\(f(x)=x^2\) の \(f'(1)\) を定義から求めよ。
解説
定義に代入して \(h\) で約分。
\(\dfrac{(1+h)^2-1}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h\)展開して約分
\(h\to0\) で \(2\)極限
答 \(f'(1)=2\)
第6章 微分法94
POINT
導関数の定義は \(f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
各点の接線の傾きを関数にしたもの。展開して \(h\) で約分し、\(h\to0\) とします。
例題
定義に従い \(f(x)=x^2\) の導関数を求めよ。
解説
定義に代入する。
\(\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h\)約分
\(h\to0\) で \(2x\)極限
答 \(f'(x)=2x\)
第6章 微分法95
POINT
分母 \(\to0\) の分数に極限値があるなら、分子 \(\to0\) が必要
分母が0に近づくのに極限が有限なら、分子も0に近づくはず。係数決定に使います。
例題
\(\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}\) が有限のとき \(a,b\) の関係を述べよ。
解説
分母 \(\to0\) なので分子も \(\to0\)。
\(x=1\) を分子に代入 \(=0\)分子→0
\(1+a+b=0\)関係式
答 \(1+a+b=0\)
第6章 微分法96
POINT
\(y=f(x)\) の接線は「接点 \((t,f(t))\) を通り、傾き \(f'(t)\)」の直線
接線の式は \(y-f(t)=f'(t)(x-t)\)。接点が未知なら \(t\) を文字で置いて条件から決めます。
例題
\(y=x^2\) 上の点 \((1,1)\) における接線を求めよ。
解説
傾きは \(f'(1)\)。
\(f'(x)=2x\)、\(f'(1)=2\)接線の傾き
\(y-1=2(x-1)\Rightarrow y=2x-1\)接線の式
答 \(y=2x-1\)
第6章 微分法97
POINT
\(y=f(x)\) の法線は「接点を通り、傾き \(-\dfrac{1}{f'(t)}\)」の直線
接線に垂直な直線。傾きは接線の傾きの逆数の符号違いです。
例題
\(y=x^2\) 上の点 \((1,1)\) における法線を求めよ。
解説
接線の傾き \(2\) の垂直をとる。
法線の傾き \(=-\dfrac12\)\(-1/f'(t)\)
\(y-1=-\dfrac12(x-1)\Rightarrow y=-\dfrac12 x+\dfrac32\)法線の式
答 \(y=-\dfrac12 x+\dfrac32\)
第6章 微分法98
POINT
\(f(x)\) が \(x=\alpha\) で極大・\(x=\beta\) で極小なら、\(f'(x)=0\) の解が \(\alpha,\beta\)
極値では接線が水平（\(f'=0\)）。増減表で \(f'\) の符号変化を調べて極大・極小を判定します。
例題
\(f(x)=x^3-3x\) の極値を与える \(x\) を求めよ。
解説
\(f'(x)=0\) を解く。
\(f'(x)=3x^2-3=0\)微分して0
\(x=\pm1\)（\(-1\)で極大・\(1\)で極小）符号変化
答 \(x=\pm1\)
第6章 微分法99
POINT
「極値をもたない」⇔ \(f'(x)=0\) が符号変化する解をもたない
3次関数なら\(f'(x)=0\)（2次）が重解または解なし。\(f'\ge0\) でずっと増加します。
例題
\(f(x)=x^3+ax\) が極値をもたない \(a\) の範囲を求めよ。
解説
\(f'\ge0\) が常に成り立つ条件。
\(f'(x)=3x^2+a\ge0\)（すべての \(x\)）増加の条件
\(a\ge0\)範囲
答 \(a\ge0\)
第6章 微分法100
POINT
3次関数 \(=0\) が異なる3実数解 ⇔ 極大値・極小値が異符号（積 \(\lt0\)）
グラフがx軸を3回横切る条件。極大値 \(\gt0\) かつ 極小値 \(\lt0\) と立式します。
例題
\(x^3-3x+k=0\) が異なる3実数解をもつ \(k\) の範囲を求めよ。
解説
極大値・極小値の符号で立式。
極大 \(f(-1)=2+k\gt0\)、極小 \(f(1)=-2+k\lt0\)異符号
\(-2\lt k\lt2\)共通範囲
答 \(-2\lt k\lt2\)
第6章 微分法101
POINT
3次関数に3本の接線が引ける ⇔ 異なる3つの接点をもつ
点から引ける接線の本数は接点 \(t\) の方程式の実数解の個数。3次関数の性質を使います。
例題
点から3次関数に接線が3本引けるのは、接点の方程式が何個の解をもつときか。
解説
接点の個数＝接線の本数。
接点の方程式が異なる3解3つの接点
答 異なる3つの解（3つの接点）
第6章 微分法102
POINT
速度は位置の微分 \(v=\dfrac{ds}{dt}\)、加速度は速度の微分
位置 \(s(t)\) を時間で微分すると速度、さらに微分で加速度。変化の割合＝微分です。
例題
\(s(t)=t^2-2t\) の \(t=3\) での速度を求めよ。
解説
位置を微分する。
\(v=\dfrac{ds}{dt}=2t-2\)微分
\(v(3)=4\)代入
答 \(4\)
第7章 積分法103
POINT
傾き \(f'(x)\) を積分すると \(f(x)+C\)（積分定数）が得られる
微分の逆が積分。\(\displaystyle\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\)。次数を1つ上げて割る。
例題
\(\displaystyle\int(3x^2-2x)\,dx\) を求めよ。
解説
各項を1次上げて割る。
\(=x^3-x^2+C\)積分
答 \(x^3-x^2+C\)
第7章 積分法104
POINT
定積分は \(\displaystyle\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)\)
原始関数 \(F\) を求め、上端−下端。積分定数 \(C\) は消えます。
例題
\(\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx\) を求めよ。
解説
原始関数に上端・下端を代入。
\([x^3]_0^2=8-0=8\)F(b)-F(a)
答 \(8\)
第7章 積分法105
POINT
\(\displaystyle\int_{-a}^a\)（奇関数）\(=0\)、\(\displaystyle\int_{-a}^a\)（偶関数）\(=2\int_0^a\)
積分区間が \(-a\sim a\) なら偶奇を疑う。奇関数は消え、偶関数は半分だけ計算すればよい。
例題
\(\displaystyle\int_{-1}^1 (x^3+x^2)\,dx\) を求めよ。
解説
奇関数の項は消える。
\(x^3\)（奇）\(\to0\)、\(x^2\)（偶）\(\to2\int_0^1 x^2\)偶奇
\(=2\cdot\dfrac13=\dfrac23\)計算
答 \(\dfrac23\)
第7章 積分法106
POINT
\(\displaystyle\int_a^b f(x)dx\) は定数なので、\(=k\) と置く
被積分関数の中に \(\int_a^b f\) が現れる問題は、その定積分を \(k\) と置いて方程式を立てます。
例題
\(f(x)=x+\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) を満たす \(f(x)\) を求めよ。
解説
定積分を \(k\) と置く。
\(f(x)=x+k\)、\(k=\int_0^2(t+k)dt=2+2k\)=kと置く
\(k=-2\) → \(f(x)=x-2\)解く
答 \(f(x)=x-2\)
第7章 積分法107
POINT
面積は「上の関数 − 下の関数」を積分する（まずグラフを書く）
どちらが上かはグラフで確認。交点を積分区間にし、\(\int(\text{上}-\text{下})dx\) を計算します。
例題
放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=x\) で囲まれた面積を求めよ。
解説
交点 \(0,1\) の間で（上−下）を積分。
\(\int_0^1(x-x^2)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1\)上−下
\(=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16\)計算
答 \(\dfrac16\)
第7章 積分法108
POINT
放物線と直線で囲む面積は \(\dfrac16(\beta-\alpha)^3\)（1/6公式）
2交点 \(\alpha,\beta\) だけで面積が出る1/6公式。展開せず \(\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}\) で計算できます。
例題
\(y=x^2\) と \(y=x+2\) で囲まれた面積を求めよ。
解説
交点を求めて1/6公式。
\(x^2=x+2\Rightarrow x=-1,2\)（\(\beta-\alpha=3\)）交点
\(\dfrac{3^3}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac92\)1/6公式
答 \(\dfrac92\)
第7章 積分法109
POINT
被積分関数が同じで上端と下端が一致する定積分は、区間をまとめてよい
\(\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f\)。区間をつなげて計算を簡単にできます。
例題
\(\displaystyle\int_0^1 f\,dx+\int_1^3 f\,dx\) を1つにまとめよ。
解説
区間 \(0\to1\to3\) をつなぐ。
\(\int_0^1 f+\int_1^3 f=\int_0^3 f\)区間をまとめる
答 \(\displaystyle\int_0^3 f\,dx\)
第7章 積分法110
POINT
「任意の1次 \(g(x)=px+q\) で成り立つ」問題は、\(p,q\) で整理し \(A=B=0\) を使う
すべての \(p,q\) で成り立つ ⇔ \(p\) の係数も \(q\) の係数も \(0\)。恒等式の考え方です。
例題
すべての \(p,q\) で \(Ap+Bq=0\) が成り立つとき \(A,B\) は？
解説
\(p,q\) について整理する。
\(p,q\) が任意 → 各係数が0恒等式
\(A=B=0\)係数を0に
答 \(A=B=0\)