第1章 極限8
POINT
\(\dfrac\infty\infty\) の数列の極限は、分母の最高次の項で分母・分子を割る
\(n\to\infty\) で不定形 \(\dfrac\infty\infty\) なら最高次で割って各項を0に飛ばします（\(r^n\) なら底が最大の項で割る）。
例題
\(\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+1}{n^2-n}\) を求めよ。
解説
\(n^2\) で分母・分子を割る。
\(\dfrac{2+1/n^2}{1-1/n}\to\dfrac{2}{1}\)最高次で割る
答 \(2\)
第1章 極限9
POINT
\(\infty-\infty\) は、最高次でくくる（無理式なら有理化して \(\dfrac\infty\infty\) に）
差の不定形はくくり出しか有理化で解消。\(\sqrt{n+1}-\sqrt n\) 型は分子を有理化します。
例題
\(\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)\) を求めよ。
解説
有理化して分子を1にする。
\(=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0\)有理化
答 \(0\)
第1章 極限10
POINT
直接求めにくい極限は、はさみうちの原理を使う
上下から同じ値に収束する数列で挟むと、間の極限もその値。\(\frac{\sin n}{n}\) 型で有効です。
例題
\(\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}\) を求めよ。
解説
\(\pm\frac1n\) で挟む。
\(-\dfrac1n\le\dfrac{\sin n}{n}\le\dfrac1n\)はさみうち
両端 \(\to0\) より \(0\)収束
答 \(0\)
第1章 極限11
POINT
\(r^n\) の極限は、\(|r|\lt1\) で \(0\)、\(r=1\) で \(1\)、\(r\gt1\) で \(\infty\)
等比の極限。公比の絶対値が1未満なら0に収束。\(r\le-1\) は振動（極限なし）。
例題
\(\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac23\right)^n\) を求めよ。
解説
公比の絶対値を見る。
\(\left|\dfrac23\right|\lt1\) → \(0\)\(|r|\lt1\)
答 \(0\)
第1章 極限12
POINT
\((1+x)^n\) を含む極限は、二項定理で展開して評価する
\((1+x)^n=1+nx+\cdots\)。必要な項だけ取り出して大小評価やはさみうちに使います。
例題
\((1+x)^n\)（\(x\gt0\)）から得られる、\(1+nx\) との大小関係を答えよ。
解説
展開の最初の2項で下から評価。
\((1+x)^n\ge1+nx\)二項定理
答 \((1+x)^n\ge1+nx\)
第1章 極限13
POINT
\(\dfrac00\)（多項式）は、分母・分子を \((x-\alpha)\) で因数分解して約分する
\(x\to\alpha\) で分母分子とも0なら共通因数 \((x-\alpha)\) をもつので、約分して解消します。
例題
\(\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}\) を求めよ。
解説
分子を因数分解して約分。
\(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\to2\)約分
答 \(2\)
第1章 極限14
POINT
\(\lim_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1\)
三角関数の \(\dfrac00\) の要。\(\sin\theta\approx\theta\)（\(\theta\to0\)）。\(\dfrac{\tan\theta}{\theta}\to1\) も同様。
例題
\(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}\) を求めよ。
解説
\(3x\) をそろえる。
\(3\cdot\dfrac{\sin3x}{3x}\to3\cdot1\)\(\frac{\sin\theta}{\theta}\to1\)
答 \(3\)
第1章 極限15
POINT
\(\dfrac\infty\infty\)（関数）は、分母の最高次の項で分母・分子を割る
\(x\to\infty\) の分数関数は最高次で割ると、比が最高次の係数の比に近づきます。
例題
\(\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-1}{x^2+x}\) を求めよ。
解説
\(x^2\) で割る。
\(\dfrac{3-1/x^2}{1+1/x}\to3\)最高次で割る
答 \(3\)
第1章 極限16
POINT
\(1^\infty\) の形は、\(\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e\) を使う
底が1に、指数が∞に向かう不定形。\(e\) の定義に帰着させます（\(\left(1+\frac1n\right)^n\to e\)）。
例題
\(\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n\) を求めよ。
解説
\(e\) の定義そのもの。
\(\left(1+\dfrac1n\right)^n\to e\)eの定義
答 \(e\)
第1章 極限17
POINT
\(y=\dfrac{k}{x-p}+q\) の漸近線は \(x=p,\ y=q\)
分母0で縦の漸近線 \(x=p\)、\(x\to\pm\infty\) で横の漸近線 \(y=q\)。分数不等式はグラフで考えます。
例題
\(y=\dfrac{1}{x-2}+3\) の漸近線を求めよ。
解説
分母0と \(x\to\infty\) を見る。
\(x=2,\ y=3\)縦・横の漸近線
答 \(x=2,\ y=3\)
第1章 極限18
POINT
\(\sqrt A=B\) を扱うときは、\(A\ge0\) と \(B\ge0\) を忘れない
根号は0以上なので右辺 \(B\ge0\)、中身 \(A\ge0\)。2乗して解いたら条件で絞ります。
例題
\(\sqrt{x}=B\) が成り立つとき、\(B\) が満たすべき条件は？
解説
根号は0以上。
\(B\ge0\)右辺の条件
答 \(B\ge0\)
第1章 極限19
POINT
\(y=f(x)\) の逆関数は、\(x,y\) を入れ替えて \(y\) について解く（\(y=x\) に対称）
逆関数の定義域は元の値域。グラフは \(y=x\) で折り返した形です。
例題
解説
\(x,y\) を入れ替えて解く。
\(x=2y-1\Rightarrow y=\dfrac{x+1}{2}\)逆関数
答 \(y=\dfrac{x+1}{2}\)
第1章 極限20
POINT
合成関数 \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)（\(g\) を先に、\(f\) を後に）
内側 \(g\) から計算し、その結果を \(f\) に入れます。順序に注意。
例題
\(f(x)=x^2,\ g(x)=x+1\) のとき \((f\circ g)(x)\) を求めよ。
解説
\(g\) を先に代入。
\(f(x+1)=(x+1)^2\)\(f(g(x))\)
答 \((x+1)^2\)
第1章 極限21
POINT
\(x\to-\infty\) の極限は、\(t=-x\) と置いて \(t\to+\infty\) に直す
負の無限大は符号を反転して正の無限大の問題にすると扱いやすい。
例題
\(x\to-\infty\) の極限は、何と置き換えるとよいか。
解説
符号を反転する。
\(t=-x\)（\(t\to+\infty\)）置換
答 \(t=-x\)（\(t\to+\infty\)）
第1章 極限22
POINT
\(f(x)\) が \(x=a\) で連続 ⇔ 左極限・右極限・\(f(a)\) が一致
\(\lim_{x\to a-0}f=\lim_{x\to a+0}f=f(a)\)。1つでもずれれば不連続です。
例題
関数が \(x=a\) で連続であるための条件を述べよ。
解説
3つの値が一致。
左極限＝右極限＝\(f(a)\)連続
答 左極限＝右極限＝\(f(a)\)
第1章 極限23
POINT
連続な \(f\) が \(f(a)\lt0\lt f(b)\) なら、\(a\lt x\lt b\) に解を少なくとも1つもつ
連続関数が負から正に変われば、途中で必ず0を通る（中間値の定理）。解の存在証明に使います。
例題
連続な \(f\) で \(f(0)=-1,\ f(1)=2\) のとき、\(f(x)=0\) の解について何が言えるか。
解説
符号が変わる＝途中で0。
\(0\lt x\lt1\) に解を少なくとも1つ中間値の定理
答 \(0\lt x\lt1\) に少なくとも1つ
第2章 微分法24
なめらかな点は連続。とがった点（絶対値の折れ）は連続でも微分不可能。左右の微分係数が一致して微分可能です。
例題
\(y=|x|\) は \(x=0\) で微分可能か。
解説
左右の微分係数を比べる。
左は \(-1\)、右は \(+1\) で不一致折れ点
答 微分可能でない（連続だが）
第2章 微分法25
POINT
積の微分：\((fg)'=f'g+fg'\)
「片方微分×もう片方」＋「もう片方微分×片方」。3つの積も順に微分します。
例題
解説
積の微分公式にあてる。
\(2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x\)\(f'g+fg'\)
\(=(x^2+2x)e^x\)整理
答 \((x^2+2x)e^x\)
第2章 微分法26
POINT
商の微分：\(\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\)
分子は「分子微分×分母 − 分子×分母微分」、分母は \(g^2\)。順序に注意。
例題
\(y=\dfrac{x}{x+1}\) を微分せよ。
解説
商の微分公式にあてる。
\(\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}\)\(\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
\(=\dfrac{1}{(x+1)^2}\)整理
答 \(\dfrac{1}{(x+1)^2}\)
第2章 微分法27
POINT
合成関数の微分：\(\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)（連鎖律）
外側を微分 × 内側を微分。\((e^{2x})'=e^{2x}\cdot2\) のように内側の微分を掛け忘れない。
例題
解説
外側→内側の順に微分して掛ける。
\(3(2x+1)^2\cdot2\)連鎖律
\(=6(2x+1)^2\)整理
答 \(6(2x+1)^2\)
第2章 微分法28
POINT
\((e^x)'=e^x\)、\((\log x)'=\dfrac1x\)
\(e^x\) は微分しても変わらない唯一の関数。\((a^x)'=a^x\log a\)、\((\log_a x)'=\dfrac{1}{x\log a}\)。
例題
\(y=\log x\) の \(x=2\) での微分係数を求めよ。
解説
\((\log x)'=1/x\)。
\(\dfrac1x\) に \(x=2\) → \(\dfrac12\)代入
答 \(\dfrac12\)
第2章 微分法29
POINT
\((\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}\)
sin→cos→−sin→−cos→sin と循環。cosの微分だけマイナスに注意。
例題
解説
連鎖律で内側の2も掛ける。
\(\cos2x\cdot2=2\cos2x\)\((\sin)'=\cos\)
答 \(2\cos2x\)
第2章 微分法30
POINT
\((x^r)'=r x^{r-1}\)（\(r\) は実数）
整数だけでなく分数・負の指数でも成立。\(\sqrt x=x^{1/2}\) は \(\dfrac{1}{2\sqrt x}\)。
例題
解説
\(\sqrt x=x^{1/2}\) とみる。
\(\dfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}\)\(rx^{r-1}\)
答 \(\dfrac{1}{2\sqrt x}\)
第2章 微分法31
POINT
\(f(x)^{g(x)}\) の微分は、両辺の \(\log\) をとってから微分する（対数微分法）
指数に変数があるときは対数微分。\(\log y=g\log f\) を微分して \(\dfrac{y'}{y}\) から \(y'\) を出します。
例題
\(y=x^x\)（\(x\gt0\)）を微分せよ。
解説
\(\log\) をとって微分。
\(\log y=x\log x\Rightarrow\dfrac{y'}{y}=\log x+1\)対数微分
\(y'=x^x(\log x+1)\)整理
答 \(y'=x^x(\log x+1)\)
第2章 微分法32
POINT
曲線 \(y=f(x)\) の接線は「\((t,f(t))\) を通り傾き \(f'(t)\)」（数IIIの全関数で）
法線は傾き \(-\dfrac{1}{f'(t)}\)。数IIIでは\(e^x,\log x,\sin x\) などあらゆる関数で接線を引きます。
例題
\(y=e^x\) 上の点 \((0,1)\) における接線を求めよ。
解説
傾きは \(f'(0)\)。
\((e^x)'=e^x\)、\(f'(0)=1\)接線の傾き
\(y-1=1\cdot(x-0)\Rightarrow y=x+1\)接線の式
答 \(y=x+1\)
第2章 微分法33
POINT
\(f'(\alpha)=0\) で、\(f''(\alpha)\gt0\) なら極小、\(f''(\alpha)\lt0\) なら極大
2階微分で下に凸（\(f''\gt0\)）なら極小、上に凸なら極大。増減表の代わりに使えます。
例題
\(f(x)=x^3-3x\) の \(x=1\) は極大・極小どちらか。（\(f''=6x\)）
解説
\(f''(1)\) の符号を見る。
\(f''(1)=6\gt0\)下に凸
よって極小\(f''\gt0\)
答 極小
第2章 微分法34
POINT
\(f''(x)=0\) の前後で凹凸が変わる点が変曲点
2階微分の符号が変わる点で曲がり方が反転。\(f''\gt0\) で下に凸、\(f''\lt0\) で上に凸。
例題
\(f(x)=x^3\) の変曲点を求めよ。（\(f''=6x\)）
解説
\(f''=0\) を解く。
\(6x=0\Rightarrow x=0\)変曲点の候補
前後で凹凸が変わる → \((0,0)\)変曲点
答 \((0,0)\)
第2章 微分法35
POINT
斜め漸近線 \(y=ax+b\) は \(a=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x},\ b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}\)
まず傾き \(a\) を \(f(x)/x\) の極限で、次に切片 \(b\) を \(f(x)-ax\) の極限で求めます。
例題
斜め漸近線の傾き \(a\) は、何の極限で求めるか。
解説
傾きは \(f/x\) の極限。
\(a=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}\)傾き
答 \(a=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}\)
第2章 微分法36
POINT
\(f(-x)=f(x)\)（偶関数）は \(y\) 軸対称、\(f(-x)=-f(x)\)（奇関数）は原点対称
グラフを描くとき対称性を使うと半分で済みます。\(x^2,y^2\) を含む曲線は対称性を疑います。
例題
\(f(x)=x^2\) はどんな対称性をもつか。
解説
\(f(-x)\) を調べる。
\(f(-x)=x^2=f(x)\)（偶関数）y軸対称
答 \(y\) 軸対称（偶関数）
第2章 微分法37
POINT
平均値の定理：\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\) を満たす \(c\) が \(a\lt c\lt b\) に存在
区間の平均変化率に等しい接線の傾きをもつ点が必ずある。不等式評価に使います。
例題
\(f(x)=x^2\)、\(a=0,b=2\) で平均値の定理を満たす \(c\) を求めよ。
解説
平均変化率＝\(f'(c)\)。
\(\dfrac{4-0}{2-0}=2=f'(c)=2c\)立式
\(c=1\)（\(0\lt1\lt2\)）解く
答 \(c=1\)
第2章 微分法38
POINT
媒介変数では \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}\)
2階も\(t\) で微分して \(\frac{dx}{dt}\) で割る。1階の \(dy/dx\) をさらに同じ手順で処理します。
例題
\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) は、\(\dfrac{dy}{dx}\) をどう処理して求めるか。
解説
1階と同じ手順を繰り返す。
\(t\) で微分して \(\dfrac{dx}{dt}\) で割る2階微分
答 \(t\) で微分して \(\dfrac{dx}{dt}\) で割る
第2章 微分法39
POINT
平面運動の速度ベクトルは \(\vec v=\left(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}\right)\)、速さは \(|\vec v|\)
位置 \((x(t),y(t))\) を各成分ごとに \(t\) で微分。もう一度微分すると加速度ベクトルです。
例題
\(x=t^2,\ y=t^3\) の \(t=1\) での速度ベクトルを求めよ。
解説
各成分を \(t\) で微分。
\(\vec v=(2t,\ 3t^2)\)成分ごと
\(t=1\) で \((2,3)\)代入
答 \((2,3)\)
第3章 積分法40
POINT
\(\displaystyle\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\)（\(n\ne-1\)）、\(\int\dfrac1x dx=\log|x|+C\)、\(\int e^x dx=e^x+C\)
微分の逆。\(n=-1\) だけは \(\log|x|\)。\(\int\cos x=\sin x\)、\(\int\sin x=-\cos x\)。
例題
\(\displaystyle\int\left(e^x+\dfrac1x\right)dx\) を求めよ。
解説
項ごとに公式を当てる。
\(e^x+\log|x|+C\)基本公式
答 \(e^x+\log|x|+C\)
第3章 積分法41
POINT
\(\sin^2 x,\cos^2 x\) の積分は、半角の公式で次数を下げる
\(\cos^2 x=\dfrac{1+\cos2x}{2}\) 等で1次に落としてから積分。3乗は3倍角や \(\sin^2=1-\cos^2\) を使います。
例題
\(\displaystyle\int\cos^2 x\,dx\) を求めよ。
解説
半角で次数を下げる。
\(\int\dfrac{1+\cos2x}{2}dx\)半角
\(=\dfrac x2+\dfrac{\sin2x}{4}+C\)積分
答 \(\dfrac x2+\dfrac{\sin2x}{4}+C\)
第3章 積分法42
POINT
\(\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx\) は、\(t=g(x)\) と置換する（置換積分）
内側 \(g(x)\) を \(t\) にすると \(dt=g'(x)dx\)。合成関数の微分の逆向きです。
例題
\(\displaystyle\int 2x(x^2+1)^3 dx\) を求めよ。
解説
\(t=x^2+1\) と置換。
\(dt=2x\,dx\)、\(\int t^3 dt=\dfrac{t^4}{4}\)置換
\(=\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C\)戻す
答 \(\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C\)
第3章 積分法43
POINT
部分積分：\(\displaystyle\int f g'\,dx=fg-\int f'g\,dx\)
積の積分。微分すると簡単になる方を \(f\)（log・多項式）、積分できる方を \(g'\) にします。
例題
\(\displaystyle\int x e^x dx\) を求めよ。
解説
\(f=x,\ g'=e^x\) とする。
\(xe^x-\int e^x dx\)部分積分
\(=(x-1)e^x+C\)整理
答 \((x-1)e^x+C\)
第3章 積分法44
POINT
\(\log x\) の積分は、\(1\cdot\log x\) とみて部分積分する
\(\int\log x\,dx=x\log x-x+C\)。\(g'=1\)（積分して \(x\)）、\(f=\log x\)（微分して \(1/x\)）。
例題
\(\displaystyle\int\log x\,dx\) を求めよ。
解説
\(1\times\log x\) と見て部分積分。
\(x\log x-\int x\cdot\dfrac1x dx\)部分積分
\(=x\log x-x+C\)整理
答 \(x\log x-x+C\)
第3章 積分法45
POINT
\(\sqrt{a^2-x^2}\) を含む積分は \(x=a\sin\theta\)、\(\dfrac{1}{x^2+a^2}\) は \(x=a\tan\theta\) と置換
前者は\(\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta\)、後者は \(x^2+a^2=\dfrac{a^2}{\cos^2\theta}\) となり簡単になります。
例題
\(\sqrt{4-x^2}\) を含む積分では、\(x\) をどう置換するか。
解説
根号を外す置換。
\(x=2\sin\theta\)\(x=a\sin\theta\)
答 \(x=2\sin\theta\)
第3章 積分法46
POINT
\(\displaystyle\int\dfrac{g'(x)}{g(x)}dx=\log|g(x)|+C\)
分子が分母の微分になっていれば、\(\log\)（絶対値つき）で一発。分数の積分でまず疑う形です。
例題
\(\displaystyle\int\dfrac{2x}{x^2+1}dx\) を求めよ。
解説
分子が分母の微分。
\((x^2+1)'=2x\)形を確認
\(=\log(x^2+1)+C\)\(\log|分母|\)
答 \(\log(x^2+1)+C\)
第3章 積分法47
POINT
分数の積分は、分子の次数を下げ・\((分母)'/分母\)・部分分数分解 を試す
分子次数≥分母なら割り算で次数下げ、その後 \((分母)'/分母\) や部分分数を疑います。
例題
\(\displaystyle\int\dfrac{1}{x(x+1)}dx\) を求めよ。
解説
部分分数に分ける。
\(\int\left(\dfrac1x-\dfrac{1}{x+1}\right)dx\)部分分数
\(=\log\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+C\)積分
答 \(\log\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+C\)
第3章 積分法48
POINT
\(f(\sin\theta)\cos\theta\) の積分は \(\sin\theta=t\)（\(f(\cos\theta)\sin\theta\) は \(\cos\theta=t\)）と置換
\(\cos\theta\,d\theta=dt\) となり\(t\) だけの積分に。三角関数の積分の定石です。
例題
\(\displaystyle\int\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta\) を求めよ。
解説
\(\sin\theta=t\) と置換。
\(dt=\cos\theta\,d\theta\)、\(\int t^2 dt=\dfrac{t^3}{3}\)置換
\(=\dfrac{\sin^3\theta}{3}+C\)戻す
答 \(\dfrac{\sin^3\theta}{3}+C\)
第3章 積分法49
POINT
微分しても消えない関数（\(e^x,\sin x\)）の積は、2回部分積分して元の式について解く
\(\int e^x\sin x\,dx\) 型は2回部分積分すると元の積分が再び現れ、方程式として解けます。
例題
\(\displaystyle\int e^x\sin x\,dx\) はどんな方針で解くか。
解説
元に戻る性質を使う。
2回部分積分 → 元の積分 \(I\) が再登場循環
\(I\) についての方程式を解く求める
答 2回部分積分して元の積分について解く
第3章 積分法50
POINT
区分求積法：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\dfrac kn\right)=\int_0^1 f(x)dx\)
和の極限を面積（定積分）に直します。\(\dfrac kn\) を \(x\)、\(\dfrac1n\) を \(dx\) とみるのがコツ。
例題
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}\dfrac kn\) を求めよ。
解説
定積分に直す。
\(=\int_0^1 x\,dx=\dfrac12\)区分求積
答 \(\dfrac12\)
第3章 積分法51
POINT
\(a\le x\le b\) で \(f(x)\le g(x)\) ならば \(\displaystyle\int_a^b f\,dx\le\int_a^b g\,dx\)
被積分関数の大小はそのまま積分値の大小に。不等式の証明（評価）に使います。
例題
\(0\le x\le1\) で \(x^2\le x\) から、積分の大小について何が言えるか。
解説
大小はそのまま積分に。
\(\int_0^1 x^2 dx\le\int_0^1 x\,dx\)積分の大小
答 \(\displaystyle\int_0^1 x^2 dx\le\int_0^1 x\,dx\)
第3章 積分法52
POINT
面積は「上の関数 − 下の関数」を交点間で積分する
数IIと同じ。数IIIでは曲線どうし・\(y\)軸まわりも扱います。まずグラフを描いて上下を確認。
例題
\(y=x^2\) と \(x\) 軸、\(x=0,2\) で囲む面積を求めよ。
解説
\(x\) 軸との間を積分。
\(\int_0^2 x^2 dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2\)面積
\(=\dfrac83\)計算
答 \(\dfrac83\)
第3章 積分法53
POINT
極方程式 \(r=f(\theta)\) と \(\theta=\alpha,\beta\) で囲む面積は \(\dfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta\)
扇形の面積 \(\frac12 r^2\Delta\theta\) の集まり。\(r\) を2乗して積分し、\(\frac12\) を掛けます。
例題
解説
扇形の集まりとみる。
\(\dfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta\)極方程式の面積
答 \(\dfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta\)
第3章 積分法54
POINT
立体の体積は、断面積 \(S(x)\) を積分：\(\displaystyle V=\int_a^b S(x)\,dx\)
薄い板（断面積×厚み）を足し上げる。まず「どの向きに切るか」を決め、断面積を \(x\) で表します。
例題
断面積が \(S(x)=x^2\)、\(0\le x\le3\) の立体の体積を求めよ。
解説
断面積を積分する。
\(\int_0^3 x^2 dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=9\)\(\int S(x)dx\)
答 \(9\)
第3章 積分法55
POINT
\(x\) 軸まわりの回転体の体積は \(\displaystyle V=\pi\int_a^b y^2\,dx\)
断面は半径 \(y\) の円（面積 \(\pi y^2\)）。回転軸上に変数をとり、垂直な断面で切ります。
例題
\(y=\sqrt x\)（\(0\le x\le4\)）を \(x\) 軸まわりに回転した体積を求めよ。
解説
半径 \(y\) の円を積分。
\(V=\pi\int_0^4(\sqrt x)^2 dx=\pi\int_0^4 x\,dx\)\(\pi\int y^2 dx\)
\(=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi\)計算
答 \(8\pi\)
第3章 積分法56
POINT
曲線 \(y=f(x)\)（\(a\le x\le b\)）の長さは \(\displaystyle L=\int_a^b\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\)
微小な斜辺 \(\sqrt{dx^2+dy^2}\) を足し上げたもの。媒介変数なら \(L=\int\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt\)。
例題
曲線の長さの公式（\(y=f(x)\) 型）を答えよ。
解説
微小な斜辺を足す。
\(L=\int_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,dx\)曲線の長さ
答 \(\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,dx\)