第1章 整数の性質8
POINT
整数問題は「範囲で絞る」「積の形で絞る」「余り(倍数)で絞る」の3つで攻める
整数の方程式には解の公式がありません。①範囲を絞る ②積＝整数の形にする ③倍数・余りで分類のどれかに持ち込むのが基本方針です。
例題
\(xy=x+y\) を満たす自然数 \(x,y\) を求めよ。
解説
積の形に変形して絞る。
\(xy-x-y=0\Rightarrow(x-1)(y-1)=1\)積の形に
\(x-1,\ y-1\) は整数で積が1 → ともに \(1\)積で絞る
答 \(x=y=2\)
第1章 整数の性質9
POINT
自然数の条件がついたら、まず「範囲」で候補を絞る
「自然数」「正の整数」の条件は強力。不等式で候補を有限個に絞ってから、しらみつぶし・積・余りで確定します。
例題
\(\dfrac{12}{n}\) が自然数となる自然数 \(n\) をすべて求めよ。
解説
割り切れる \(n\) は12の約数に限られる。
\(n\) は \(12\) の正の約数範囲を絞る
\(n=1,2,3,4,6,12\)書き出す
答 \(n=1,2,3,4,6,12\)
第1章 整数の性質10
POINT
素数 \(p\) を積で表すと \(1\times p\) しかない
素数は1とその数自身以外に約数を持ちません。だから「積＝素数」の形にできれば、因数の組は \(1\times p\) だけに絞れます。
例題
\(p\) を素数とする。\(n^2-1=p\) を満たす自然数 \(n\) と \(p\) を求めよ。
解説
積の形にして素数の性質を使う。
\((n-1)(n+1)=p\)積の形に
素数だから \(n-1=1\) → \(n=2,\ p=3\)\(1\times p\)
答 \(n=2,\ p=3\)
第1章 整数の性質11
POINT
\(\sqrt{m^2+a}\) が整数なら、\(=n\) とおき \((n-m)(n+m)=a\) にする
平方数の差を作るのが定石。\(m^2+a=n^2\) を移項して \(a=(n-m)(n+m)\)。積の形で約数を絞ります。
例題
\(\sqrt{n^2+21}\) が整数となる自然数 \(n\) を求めよ。
解説
整数 \(k\) とおいて平方差にする。
\(n^2+21=k^2\Rightarrow(k-n)(k+n)=21\)積の形に
\((k-n,k+n)=(1,21),(3,7)\)21の約数の組
\((k,n)=(11,10),(5,2)\)連立して解く
答 \(n=10,\ 2\)
第1章 整数の性質12
POINT
\(a^p b^q\) の約数の総和は \((1+a+\cdots+a^p)(1+b+\cdots+b^q)\)
各素因数について0乗〜最大乗の和を作り、掛け合わせると全約数の総和になります（展開すると全約数が1回ずつ現れる）。
例題
解説
素因数分解してから公式にあてる。
\(12=2^2\cdot3\)素因数分解
\((1+2+4)(1+3)=7\cdot4=28\)総和の公式
答 \(28\)
第1章 整数の性質13
POINT
不定方程式 \(ax+by=c\) は、特殊解を1つ見つければ解ける
まず成り立つ整数の組（特殊解）を1つ探します。見つからなければユークリッドの互除法で作り、一般解は周期でずらします。
例題
解説
小さい数で成り立つ組を探す。
\(x=2,\ y=-1\) が成り立つ特殊解
\(3\cdot2+5\cdot(-1)=1\)確かめ
答 \((x,y)=(2,-1)\) など
第1章 整数の性質14
POINT
連続する3つの整数は、必ず2の倍数と3の倍数を含む
だから連続3整数の積は6の倍数。倍数の証明でよく使います（連続 \(k\) 個の整数の積は \(k!\) の倍数）。
例題
連続する3つの整数の積が \(6\) の倍数であることを示せ。
解説
2の倍数と3の倍数を含むことを言う。
連続3整数に2の倍数が必ず含まれる偶奇
3の倍数も必ず含まれる → 積は \(6\) の倍数3で割った余り
答 \(6\) の倍数である
第1章 整数の性質15
POINT
累乗 \(a^n\) を割った余りには、周期性がある
\(a^n\) を \(m\) で割った余りは途中から周期的に繰り返します。最初の数個を書き出して周期を見つけ、指数を周期で割った余りで判断します。
例題
\(7^{100}\) を \(4\) で割った余りを求めよ。
解説
小さい余りに直してから累乗する。
\(7\equiv-1\pmod{4}\)余りに直す
\(7^{100}\equiv(-1)^{100}=1\)周期性
答 \(1\)
第1章 整数の性質16
POINT
累乗 \(a^n\) の一の位は、周期的に繰り返す
一の位だけ追うと短い周期で循環します（例：\(3\) は 3,9,7,1 の周期4）。指数を周期で割った余りで一の位が決まります。
例題
解説
一の位の循環を調べる。
一の位は \(3,9,7,1\) の周期4周期性
\(2024=4\times506\) → 周期の切れ目 → \(1\)指数を周期で割る
答 \(1\)
第1章 整数の性質17
POINT
一の位が一致 ⇔ その差が \(10\) の倍数
一の位は10で割った余り。余りが等しいことは、差が10の倍数であることと同じです（\(a\equiv b\pmod{10}\)）。
例題
\(2^{10}\) と \(2^2\) の一の位が一致することを確かめよ。
解説
差が10の倍数かを見る。
\(2^{10}=1024,\ 2^2=4\)計算
\(1024-4=1020\) は10の倍数差が10の倍数
答 一の位はともに \(4\)（一致）
第1章 整数の性質18
POINT
\(n\) 進法の \(k\) 桁目は、\(n^{k-1}\) がいくつあるかを表す
10進法で各桁が \(1,10,100\) を表すのと同じで、\(n\) 進法では各桁が \(n^0,n^1,n^2,\dots\)。10進へは各桁×位取りの和で変換します。
例題
2進法の \(1011_{(2)}\) を10進法で表せ。
解説
各桁に位取りを掛けて足す。
\(1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0\)位取り
\(=8+0+2+1=11\)合計
答 \(11\)
第1章 整数の性質19
POINT
「\(A,B\) の最大公約数が \(G\)」なら \(A=aG,\ B=bG\)（\(a,b\) は互いに素）と置く
最大公約数でくくると、残りの \(a,b\) は互いに素。この置き方で最大公約数・最小公倍数の問題を文字式で扱えます。
例題
最大公約数が \(6\)、和が \(30\) の2つの自然数を求めよ。
解説
\(G=6\) でくくって置く。
\(A=6a,\ B=6b\)（\(a,b\) 互いに素）Gでくくる
\(a+b=5\) → \((a,b)=(1,4),(2,3)\)互いに素な組
答 \((A,B)=(6,24),\ (12,18)\)
第1章 整数の性質20
POINT
\(A=aG,\ B=bG\)（\(a,b\) 互いに素）のとき、最小公倍数は \(L=abG\)
\(G\times L=A\times B\)（最大公約数×最小公倍数＝2数の積）も便利。互いに素な \(a,b\) を使うと見通しよく求まります。
例題
\(A=12,\ B=18\) の最小公倍数を求めよ。
解説
最大公約数でくくって公式にあてる。
\(G=6,\ 12=6\cdot2,\ 18=6\cdot3\)Gでくくる
\(L=abG=2\cdot3\cdot6=36\)\(L=abG\)
答 \(36\)
第2章 場合の数と確率21
POINT
場合の数は「同時に起きない→たす」「続けて起きる→かける」
和の法則は場合分け（AまたはB）、積の法則は連続する選択（Aして次にB）。「または＝＋、そして＝×」と覚えます。
例題
解説
大→小と続けて起きるので掛ける。
大が6通り、それぞれに小が6通り続けて起きる
\(6\times6=36\)積の法則
答 \(36\) 通り
第2章 場合の数と確率22
POINT
異なる \(n\) 個から \(r\) 個を順番に並べるのは \({}_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)
順番を区別するのが順列。\({}_nP_r=n(n-1)\cdots\)（大きい方から \(r\) 個の積）。「並べる＝順列」。
例題
解説
上から3個ぶん掛ける。
\({}_5P_3=5\cdot4\cdot3\)順番あり
\(=60\)計算
答 \(60\) 通り
第2章 場合の数と確率23
POINT
異なる \(n\) 個の円順列は \((n-1)!\) 通り
円形は回転して同じ並びを1つと数えるので、1人を固定して残り \((n-1)\) 個を並べます。
例題
解説
1人を固定して回転の重複を除く。
残り4人を並べる回転を1つに
\((5-1)!=4!=24\)\((n-1)!\)
答 \(24\) 通り
第2章 場合の数と確率24
POINT
\(n\) 種類から重複を許して \(r\) 個並べるのは \(n^r\) 通り
各回とも \(n\) 通りから選べます（使い回しOK）。\(r\) 回ぶん掛けて \(n^r\)。
例題
解説
各位置が独立に3通り。
4か所すべて3通り重複を許す
\(3^4=81\)\(n^r\)
答 \(81\) 通り
第2章 場合の数と確率25
POINT
異なる \(n\) 個から \(r\) 個を選ぶ（順番なし）のは \({}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)
順番を区別しないのが組合せ。\({}_nC_r=\dfrac{{}_nP_r}{r!}\)（並べ方 \(r!\) で割る）。「選ぶだけ＝組合せ」。
例題
解説
順列を並べ替えの数で割る。
\({}_5C_3=\dfrac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}\)順番を割る
\(=10\)計算
答 \(10\) 通り
第2章 場合の数と確率26
POINT
同じものを含む順列は、\(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\)（同じもので割る）
全体 \(n!\) を、同じものどうしの並べ替え \(p!,q!,\dots\) で割ると重複が消えます。
例題
\(a,a,a,b,b\) の5文字を1列に並べる方法は何通りか。
解説
同じ文字の重複を割る。
\(\dfrac{5!}{3!\,2!}\)同じもので割る
\(=\dfrac{120}{12}=10\)計算
答 \(10\) 通り
第2章 場合の数と確率27
POINT
確率は「その事象の場合の数 ÷ 全事象の場合の数」（同様に確からしい）
すべての根元事象が同様に確からしいとき \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(U)}\)。分母は全体、分子は目的の場合の数です。
例題
大小2個のサイコロの目の和が \(7\) になる確率を求めよ。
解説
全体36通りのうち和が7の数を数える。
全事象 \(6\times6=36\)分母
和7は6通り → \(\dfrac{6}{36}=\dfrac16\)分子÷分母
答 \(\dfrac16\)
第2章 場合の数と確率28
POINT
「少なくとも1つ…」の確率は、余事象 \(1-P(\overline{A})\) で求める
「少なくとも」を直接数えると大変。「1つも…でない」余事象を1から引くのが速い。
例題
3個のサイコロを投げ、少なくとも1個は \(6\) が出る確率を求めよ。
解説
「6が1個も出ない」の余事象を引く。
余事象 \(=\left(\dfrac56\right)^3=\dfrac{125}{216}\)1個も出ない
\(1-\dfrac{125}{216}=\dfrac{91}{216}\)余事象を引く
答 \(\dfrac{91}{216}\)
第2章 場合の数と確率29
POINT
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
「AまたはB」は単純な和ではなく、重なり \(P(A\cap B)\) を1回引きます（数えすぎの調整）。排反なら重なりは \(0\)。
例題
\(1\)〜\(10\) から1つ選ぶ。2の倍数または3の倍数である確率を求めよ。
解説
2の倍数・3の倍数・6の倍数を数える。
2の倍数5個、3の倍数3個、6の倍数1個重なりを確認
\(\dfrac{5}{10}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{7}{10}\)重なりを引く
答 \(\dfrac{7}{10}\)
第2章 場合の数と確率30
POINT
独立な試行が続くときの確率は、各々の確率を掛ける
一方の結果が他方に影響しない（独立）なら、「AかつB」＝\(P(A)\times P(B)\)。
例題
解説
各回独立なので掛ける。
各回 表は \(\dfrac12\)独立
\(\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18\)掛ける
答 \(\dfrac18\)
第2章 場合の数と確率31
POINT
反復試行で \(r\) 回成功する確率は \({}_nC_r\,p^r(1-p)^{n-r}\)
同じ試行を \(n\) 回。どの回で成功するかの選び方 \({}_nC_r\) ×（成功 \(p^r\)）×（失敗 \((1-p)^{n-r}\)）。
例題
サイコロを4回投げ、ちょうど2回 \(1\) の目が出る確率を求めよ。
解説
反復試行の公式にあてる。
\({}_4C_2\left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac56\right)^2\)選び方×成功×失敗
\(=6\cdot\dfrac{25}{1296}=\dfrac{25}{216}\)計算
答 \(\dfrac{25}{216}\)
第2章 場合の数と確率32
POINT
条件付き確率は \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
「Aが起きたもとでBが起きる」確率。分母を全体でなく \(A\) に絞るのがポイント。\(P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)\)（乗法定理）。
例題
当たり2本・はずれ3本のくじを戻さず2本引く。1本目が当たりのとき、2本目も当たりの確率を求めよ。
解説
1本目を引いた後の状態で考える。
残り4本中、当たりは1本分母をAに絞る
\(P_A(B)=\dfrac14\)条件付き
答 \(\dfrac14\)
第2章 場合の数と確率33
得られる値を \(x_1,x_2,\dots\)、その確率を \(p_1,p_2,\dots\) とすると 期待値 \(=\sum x_i p_i\)。平均的にどのくらいか、を表します。
例題
サイコロを1回投げ、出た目の数だけ点がもらえる。得点の期待値を求めよ。
解説
各目の（値×確率）を足す。
各目 \(1\)〜\(6\) が確率 \(\dfrac16\)値×確率
\((1+2+\cdots+6)\times\dfrac16=\dfrac{21}{6}=\dfrac72\)総和
答 \(\dfrac72\)
第3章 図形の性質34
POINT
三角形の重心は3本の中線の交点で、各中線を頂点から \(2:1\) に内分する
重心 \(G\) は中線を \(2:1\)（頂点側:中点側）に分けます。位置は \(\dfrac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}\)。
例題
中線 \(AM\) の長さが \(9\) のとき、頂点 \(A\) から重心 \(G\) までの長さを求めよ。
解説
重心は中線を \(2:1\) に分ける。
\(AG:GM=2:1\)頂点側が2
\(AG=\dfrac23\cdot9=6\)全体の \(\frac23\)
答 \(AG=6\)
第3章 図形の性質35
POINT
三角形の外心は3辺の垂直二等分線の交点で、各頂点から等距離（外接円の中心）
外心 \(O\) は3頂点から等距離＝外接円の中心。\(OA=OB=OC=R\)。鈍角三角形では三角形の外側にできます。
例題
外接円の半径が \(5\) のとき、外心 \(O\) から各頂点までの距離を答えよ。
解説
外心は外接円の中心。
\(OA=OB=OC=R\)各頂点から等距離
\(=5\)半径に等しい
答 \(5\)
第3章 図形の性質36
POINT
三角形の内心は3つの内角の二等分線の交点で、各辺から等距離（内接円の中心）
内心 \(I\) は3辺から等距離＝内接円の中心（半径 \(r\)）。面積 \(S=\dfrac12 r(a+b+c)\) と結びつきます。
例題
内接円の半径が \(2\)、周の長さが \(20\) の三角形の面積を求めよ。
解説
内心から各辺までの距離が \(r\)。
\(S=\dfrac12 r(a+b+c)\)内接円の半径
\(=\dfrac12\cdot2\cdot20=20\)代入
答 \(S=20\)
第3章 図形の性質37
POINT
チェバの定理：3頂点からの直線が1点で交わるとき \(\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1\)
各頂点から対辺への3直線が1点で交わるときの辺の比。三角形を一周する形で覚えます。
例題
3直線が1点で交わり \(BP:PC=2:1,\ CQ:QA=1:1\) のとき \(AR:RB\) を求めよ。
解説
チェバの定理にあてはめる。
\(\dfrac21\cdot\dfrac11\cdot\dfrac{AR}{RB}=1\)一周する積
\(\dfrac{AR}{RB}=\dfrac12\)解く
答 \(AR:RB=1:2\)
第3章 図形の性質38
POINT
メネラウスの定理：1直線が3辺（の延長）を切るとき \(\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1\)
チェバが「1点で交わる」なら、メネラウスは「1直線で切る」。式は同じ形ですが、分点の1つは辺の延長上にあります。
例題
直線が \(BC\) を \(BP:PC=3:2\)、\(CA\) を \(CQ:QA=1:2\) に切るとき \(AR:RB\) を求めよ。
解説
メネラウスの定理にあてはめる。
\(\dfrac32\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{AR}{RB}=1\)一周する積
\(\dfrac{AR}{RB}=\dfrac43\)解く
答 \(AR:RB=4:3\)
第3章 図形の性質39
POINT
三角形では、大きい角の対辺ほど長い（辺と角の大小は一致）
最大角の対辺が最長、最小角の対辺が最短。「大きい角の向かいは長い辺」と覚えます。
例題
\(\angle A=80^\circ,\ \angle B=60^\circ,\ \angle C=40^\circ\) のとき、3辺 \(a,b,c\) の大小を答えよ。
解説
角の大小がそのまま対辺の大小になる。
角は \(A\gt B\gt C\)対辺と一致
辺も \(a\gt b\gt c\)大きい角の対辺が長い
答 \(a\gt b\gt c\)
第3章 図形の性質40
POINT
三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さは半分（中点連結定理）
中点を結ぶと底辺と平行・長さ半分（\(MN\parallel BC,\ MN=\dfrac12 BC\)）。
例題
\(BC=10\) のとき、\(AB,AC\) の中点 \(M,N\) を結ぶ線分 \(MN\) の長さを求めよ。
解説
中点連結定理を使う。
\(MN=\dfrac12 BC\)平行で半分
\(=\dfrac12\cdot10=5\)代入
答 \(MN=5\)
第3章 図形の性質41
POINT
同じ弧に対する円周角は等しく、中心角の半分
弧が同じなら円周角はどこでも等しい。また 円周角 \(=\dfrac12\times\)中心角。直径に対する円周角は \(90^\circ\)。
例題
弧 \(AB\) に対する中心角が \(80^\circ\) のとき、円周角を求めよ。
解説
円周角は中心角の半分。
円周角 \(=\dfrac12\times\)中心角円周角の定理
\(=\dfrac12\times80^\circ=40^\circ\)計算
答 \(40^\circ\)
第3章 図形の性質42
POINT
接線と弦のつくる角は、その弧に対する円周角に等しい（接弦角の定理）
接点を通る弦と接線の間の角＝弦の反対側の弧の円周角。円周角の定理の接線版です。
例題
接線と弦のなす角（接弦角）が \(50^\circ\) のとき、その弧に対する円周角を求めよ。
解説
接弦角は、その弧の円周角に等しい。
円周角 \(=\) 接弦角接弦角の定理
\(=50^\circ\)そのまま
答 \(50^\circ\)
第3章 図形の性質43
POINT
方べきの定理：点Pを通る2弦が \(AB,CD\) なら \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)
点Pを通る2直線が円と交わるとき、Pから交点までの積が等しい。Pが円の内でも外でも成立します。
例題
2弦が点Pで交わり \(PA=2,\ PB=6,\ PC=3\) のとき \(PD\) を求めよ。
解説
方べきの定理にあてはめる。
\(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)積が等しい
\(2\cdot6=3\cdot PD\Rightarrow PD=4\)解く
答 \(PD=4\)
第3章 図形の性質44
POINT
接線と割線では \(PT^2=PA\cdot PB\)（接線の2乗＝割線の積）
円外の点Pから接線PTと割線PABを引くと、接線の長さの2乗＝割線の積。方べきの定理の接線バージョン。
例題
\(PA=2,\ PB=8\) のとき接線 \(PT\) の長さを求めよ。
解説
接線バージョンの方べきを使う。
\(PT^2=PA\cdot PB=2\cdot8=16\)接線²＝割線の積
\(PT=4\)平方根
答 \(PT=4\)
第3章 図形の性質45
POINT
円外の点から引いた2本の接線の長さは等しい
点Pから円へ引いた接線の接点を \(A,B\) とすると \(PA=PB\)。内接円の計算でよく使います。
例題
点Pから円に2本の接線を引き、一方の接点まで \(PA=7\) のとき、他方 \(PB\) を答えよ。
解説
円外の点からの2接線は等長。
\(PA=PB\)接線の性質
\(PB=7\)等しい
答 \(PB=7\)