第1章 平面ベクトル8
POINT
平面上のすべてのベクトルは、1次独立な2つのベクトルで1通りに表せる
平行でない2つ \(\vec a,\vec b\) があれば、どんなベクトルも \(s\vec a+t\vec b\) と一意に表せます（基底）。
例題
平面のベクトルを表すのに必要な、1次独立なベクトルは何本か。
解説
平面は2方向で張られる。
平行でない2本で全ベクトルを表せる基底
答 2本
第1章 平面ベクトル9
POINT
内積は \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta\)（\(\theta\) はなす角）
大きさの積 × なす角のcos。なす角や垂直判定に使います（\(\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\)）。
例題
\(|\vec a|=2,\ |\vec b|=3\)、なす角 \(60^\circ\) のとき \(\vec a\cdot\vec b\) を求めよ。
解説
定義に代入する。
\(2\cdot3\cdot\cos60^\circ=6\cdot\dfrac12\)定義
\(=3\)計算
答 \(3\)
第1章 平面ベクトル10
POINT
成分では \(\vec a\cdot\vec b=a_1 b_1+a_2 b_2\)
座標が分かれば成分の積の和で内積が出ます。大きさは \(|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)。
例題
\(\vec a=(1,2),\ \vec b=(3,-1)\) の内積を求めよ。
解説
成分の積の和をとる。
\(1\cdot3+2\cdot(-1)=3-2\)成分
\(=1\)計算
答 \(1\)
第1章 平面ベクトル11
POINT
単位ベクトルは、そのベクトルを大きさで割って作る
\(\dfrac{\vec a}{|\vec a|}\) が \(\vec a\) と同じ向きの大きさ1のベクトルです。
例題
\(\vec a=(3,4)\) と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。
解説
大きさで割る。
\(|\vec a|=\sqrt{9+16}=5\)大きさ
\(\dfrac{1}{5}(3,4)=\left(\dfrac35,\dfrac45\right)\)割る
答 \(\left(\dfrac35,\dfrac45\right)\)
第1章 平面ベクトル12
POINT
ベクトルの大きさは、2乗して内積で扱う（\(|\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a\)）
\(|\vec a+\vec b|\) は2乗して展開：\(|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\)。
例題
\(|\vec a|=1,|\vec b|=2,\ \vec a\cdot\vec b=1\) のとき \(|\vec a+\vec b|\) を求めよ。
解説
2乗して展開する。
\(|\vec a+\vec b|^2=1+2\cdot1+4=7\)展開
\(|\vec a+\vec b|=\sqrt7\)平方根
答 \(\sqrt7\)
第1章 平面ベクトル13
POINT
\(\vec a\parallel\vec b\)（平行）⇔ \(\vec a=k\vec b\) と表せる
向きが同じか逆＝定数倍。成分なら\(a_1 b_2-a_2 b_1=0\) でも判定できます。
例題
\(\vec a=(2,3),\ \vec b=(4,k)\) が平行のとき \(k\) を求めよ。
解説
定数倍の条件を成分で。
\(2k-3\cdot4=0\)\(a_1b_2-a_2b_1=0\)
\(k=6\)解く
答 \(k=6\)
第1章 平面ベクトル14
POINT
\(\vec a\perp\vec b\)（垂直）⇔ \(\vec a\cdot\vec b=0\)
内積が0＝直角（\(\cos90^\circ=0\)）。成分の積の和が0で判定します。
例題
\(\vec a=(2,3),\ \vec b=(3,k)\) が垂直のとき \(k\) を求めよ。
解説
内積を0にする。
\(2\cdot3+3k=0\)\(\vec a\cdot\vec b=0\)
\(k=-2\)解く
答 \(k=-2\)
第1章 平面ベクトル15
POINT
\(A(\vec a),B(\vec b)\) を \(m:n\) に内分する点は \(\vec p=\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}\)
座標の内分と同じ形。\(m:n\) の重みを逆に（\(n\) が \(\vec a\)）。中点は \(\dfrac{\vec a+\vec b}{2}\)。
例題
\(A(\vec a),B(\vec b)\) を \(1:2\) に内分する点 \(\vec p\) を求めよ。
解説
\(m=1,n=2\) を公式に。
\(\vec p=\dfrac{2\vec a+1\vec b}{3}\)内分の公式
答 \(\vec p=\dfrac{2\vec a+\vec b}{3}\)
第1章 平面ベクトル16
POINT
直線OA上の点Pは \(\overrightarrow{OP}=k\,\overrightarrow{OA}\) と表せる
Oを通り \(\overrightarrow{OA}\) 方向の直線上＝\(\overrightarrow{OA}\) の定数倍。
例題
直線OA上の点Pは \(\overrightarrow{OA}\) を使ってどう表せるか。
解説
同じ向きの定数倍。
\(\overrightarrow{OP}=k\,\overrightarrow{OA}\)定数倍
答 \(\overrightarrow{OP}=k\,\overrightarrow{OA}\)
第1章 平面ベクトル17
POINT
平行四辺形の残り1点は「対角線が中点で交わる」で求める
位置ベクトルで対角線の中点が一致。平行四辺形OABCなら \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\)。
例題
平行四辺形OABC で \(\overrightarrow{OA}=\vec a,\ \overrightarrow{OC}=\vec c\) のとき \(\overrightarrow{OB}\) を求めよ。
解説
対角線＝2辺の和。
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\)対角線
\(=\vec a+\vec c\)代入
答 \(\overrightarrow{OB}=\vec a+\vec c\)
第1章 平面ベクトル18
POINT
\(\vec p=\vec a+t\vec b\) は「点 \(A\) を通り \(\vec b\) に平行な直線」を表す
\(t\) が動くと\(\vec b\) 方向にまっすぐ進む。直線のベクトル方程式です。
例題
\(\vec p=\vec a+t\vec b\)（\(t\) は実数）はどんな図形を表すか。
解説
始点 \(A\)・方向 \(\vec b\) の直線。
\(t\) が動くと \(\vec b\) 方向へ直線
答 \(A\) を通り \(\vec b\) に平行な直線
第1章 平面ベクトル19
POINT
直線 \(ax+by+c=0\) の法線ベクトルは \(\vec n=(a,b)\)
直線に垂直な方向。係数 \((a,b)\) がそのまま法線です。方向ベクトルは \((b,-a)\)。
例題
直線 \(3x-4y+1=0\) の法線ベクトルを1つ答えよ。
解説
係数がそのまま法線。
\(\vec n=(3,-4)\)\((a,b)\)
答 \((3,-4)\)
第1章 平面ベクトル20
POINT
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\) で \(s+t=1\) ⇔ Pは直線AB上
係数の和が1なら2点A,Bを通る直線上。さらに \(0\le s,t\) を加えると線分AB上です。
例題
点Pが直線AB上にある条件を、\(s,t\) で答えよ。
解説
係数の和が1。
\(s+t=1\)直線AB
答 \(s+t=1\)
第1章 平面ベクトル21
POINT
さらに \(0\le s,\ 0\le t\) を加えると、Pは線分AB上
\(s+t=1\) で直線AB、そこに\(s,t\ge0\) を課すと端の間（線分）に限定されます。
例題
\(s+t=1,\ 0\le s,t\) のとき、点Pの範囲を答えよ。
解説
直線を線分に絞る。
\(s+t=1\) かつ \(s,t\ge0\)端の間
答 線分AB上
第1章 平面ベクトル22
POINT
角の二等分線の方向は、2辺の単位ベクトルの和で表せる
\(\angle AOB\) の二等分線は\(\dfrac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}+\dfrac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}\) 方向（ひし形の対角線）。辺の比を使う方法もあります。
例題
角の二等分線の方向ベクトルは、2辺をどうしたものの和か。
解説
単位ベクトルにそろえて足す。
各辺を単位ベクトルにして和をとるひし形の対角線
答 各辺の単位ベクトルの和
第1章 平面ベクトル23
POINT
1次独立な \(\vec a,\vec b\) は \(|\vec a|,|\vec b|,\vec a\cdot\vec b\) の3つで必要情報が揃う
大きさ2つと内積（＝なす角）が分かれば、どんな内積・大きさも計算できます。
例題
\(\vec a,\vec b\) の内積を求めるのに、大きさ以外に必要な情報は何か。
解説
内積はなす角で決まる。
なす角 \(\theta\)（＝\(\vec a\cdot\vec b\)）3情報
答 なす角 \(\theta\)
第2章 空間ベクトル24
POINT
空間のベクトルは1次独立な3つで表せ、大きさ3つ・内積3つの6情報で揃う
平面が2本なら空間は3本の基底。\(|\vec a|,|\vec b|,|\vec c|\) と \(\vec a\cdot\vec b,\vec b\cdot\vec c,\vec c\cdot\vec a\) が分かれば全て計算できます。
例題
空間のベクトルを表すのに必要な、1次独立なベクトルは何本か。
解説
空間は3方向で張られる。
1次独立な3本で全ベクトルを表せる基底
答 3本
第2章 空間ベクトル25
POINT
空間の内積は \(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)、\(|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)
平面と同じで成分の積の和。z成分が1つ増えるだけです。
例題
\(\vec a=(1,2,2),\ \vec b=(2,-1,2)\) の内積と \(|\vec a|\) を求めよ。
解説
成分の積の和・平方和の平方根。
\(\vec a\cdot\vec b=2-2+4=4\)内積
\(|\vec a|=\sqrt{1+4+4}=3\)大きさ
答 \(\vec a\cdot\vec b=4,\ |\vec a|=3\)
第2章 空間ベクトル26
POINT
点 \((x,y,z),(a,b,c)\) の距離は \(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}\)
平面の距離にz成分の差の2乗を足すだけ。三平方の空間版です。
例題
2点 \((1,2,2),(3,4,4)\) の距離を求めよ。
解説
各成分の差の平方和。
\(\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}\)空間の距離
\(=2\sqrt3\)計算
答 \(2\sqrt3\)
第2章 空間ベクトル27
POINT
点Dが平面ABC上 ⇔ \(\overrightarrow{OD}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\)（\(s+t+u=1\)）
平面の \(s+t=1\) の3点版。係数の和が1なら3点の平面上。\(\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\) でも可。
例題
点Dが平面ABC上にある条件を、\(s,t,u\) で答えよ。
解説
係数の和が1。
\(s+t+u=1\)平面上
答 \(s+t+u=1\)
第2章 空間ベクトル28
POINT
点 \((x_0,y_0,z_0)\) を通り \(\vec d=(a,b,c)\) に平行な直線は \(\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}\)
各成分の(座標−通過点)÷(方向成分) が等しい。媒介変数 \(t\) でも表せます。
例題
点 \((1,0,2)\) を通り \(\vec d=(2,1,3)\) に平行な直線を式で表せ。
解説
公式にあてはめる。
\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{3}\)直線の式
答 \(\dfrac{x-1}{2}=y=\dfrac{z-2}{3}\)
第2章 空間ベクトル29
POINT
点 \((x_0,y_0,z_0)\) を通り法線 \(\vec n=(a,b,c)\) の平面は \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\)
法線と平面上のベクトルが垂直（内積0）から出ます。展開すると \(ax+by+cz=d\)。
例題
点 \((1,1,1)\) を通り法線 \((2,3,1)\) の平面を求めよ。
解説
法線を係数にして展開。
\(2(x-1)+3(y-1)+(z-1)=0\)平面の式
\(2x+3y+z=6\)整理
答 \(2x+3y+z=6\)
第2章 空間ベクトル30
POINT
\(xy\) 平面に平行な平面は \(z=t\)、\(x\) 軸に垂直な平面は \(x=t\)
1つの座標を固定すると平面。\(z=t\) は水平な平面、\(x=t\) は \(x\) 軸に垂直な平面です。
例題
点 \((1,2,3)\) を通り \(xy\) 平面に平行な平面を求めよ。
解説
z座標を固定する。
\(z=3\)xy平面に平行
答 \(z=3\)
第2章 空間ベクトル31
POINT
\(x\) 軸上の点は \((x,0,0)\) と置ける
軸上は他の2成分が0。\(y\) 軸上は \((0,y,0)\)、\(z\) 軸上は \((0,0,z)\)。
例題
解説
他成分を0にする。
\((x,0,0)\)x軸上
答 \((x,0,0)\)
第2章 空間ベクトル32
POINT
中心 \((a,b,c)\)、半径 \(r\) の球は \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)
円の方程式の空間版。中心からの距離が \(r\) の点の集合です。
例題
中心 \((1,-2,0)\)、半径 \(3\) の球の方程式を求めよ。
解説
公式に中心・半径を入れる。
\((x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9\)球の方程式
答 \((x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9\)
第2章 空間ベクトル33
POINT
点 \((x_1,y_1,z_1)\) と平面 \(ax+by+cz+d=0\) の距離は \(\dfrac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
点と直線の距離の空間版。点を代入した絶対値 ÷ 係数の平方和の平方根。
例題
原点と平面 \(2x+y+2z-6=0\) の距離を求めよ。
解説
原点を代入して公式に。
\(\dfrac{|-6|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{6}{3}\)点と平面の距離
\(=2\)計算
答 \(2\)
第2章 空間ベクトル34
POINT
体積比は「底面積が共通なら高さの比」「高さが共通なら底面積の比」
体積は底面積 × 高さに比例。共通な方を除いて比をとります。
例題
底面積が等しく、高さが \(2:3\) の2つの立体の体積比を答えよ。
解説
共通の底面積は無視。
体積比＝高さの比 \(=2:3\)高さの比
答 \(2:3\)
第2章 空間ベクトル35
POINT
直線・平面に関する対称点Qは、垂線の足Hを使い \(\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PH}\)
Hが中点になるので \(Q=2H-P\)。平面対称なら「PQの中点が平面上・PQが法線方向」でも解けます。
例題
垂線の足がHのとき、対称点Qは \(\overrightarrow{PH}\) を使ってどう表せるか。
解説
Hが中点になる。
\(\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PH}\)H＝中点
答 \(\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PH}\)
第2章 空間ベクトル36
POINT
2平面のなす角は、それぞれの法線ベクトルのなす角から求める
平面どうしの角は法線ベクトルの内積で。\(\cos\theta=\dfrac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}\)。
例題
解説
法線どうしの角に帰着。
法線ベクトルのなす角内積で
答 法線ベクトルのなす角
第2章 空間ベクトル37
POINT
直線と平面のなす角は、直線の方向ベクトルと平面の法線のなす角から求める
方向ベクトルと法線のなす角を \(\varphi\) とすると、直線と平面のなす角は \(90^\circ-\varphi\)。
例題
直線と平面のなす角は、方向ベクトルと何のなす角から求めるか。
解説
法線との角から求める。
方向ベクトルと法線のなす角\(90^\circ-\varphi\)
答 平面の法線ベクトル
第2章 空間ベクトル38
POINT
「直線が平面に垂直」⇔ その直線が平面上の交わる2直線と垂直
平面上の1本と垂直なだけでは不十分。交わる2本と垂直なら平面に垂直（方向ベクトルが法線と平行）。
例題
直線が平面に垂直であることを示すには、平面上の何本の直線との垂直を言えばよいか。
解説
交わる2本で十分。
平面上の交わる2直線と垂直2本
答 交わる2直線
第2章 空間ベクトル39
POINT
\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\) の範囲は、\(u\) を消して平面ベクトルに帰着
条件（例 \(s+t+u=1\)）で1文字を消去し、平面ベクトルの存在範囲の問題に落とします。
例題
空間の \(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\) の範囲は、何に帰着させるか。
解説
1文字消して次元を下げる。
\(u\) を消去して平面ベクトルの問題に帰着
答 \(u\) を消去して平面ベクトルの問題
第3章 複素数平面40
POINT
複素数 \(z\) が実数 ⇔ \(z=\bar z\)（虚部が0）
実数は共役と等しい。\(z=a+bi\) で虚部 \(b=0\) と同値です。
例題
\(z=(a+2)+(a-1)i\) が実数となる \(a\) を求めよ。
解説
虚部を0にする。
\(a-1=0\)虚部=0
\(a=1\)解く
答 \(a=1\)
第3章 複素数平面41
POINT
\(z\) が純虚数 ⇔ \(z+\bar z=0\)（実部0・\(z\ne0\)）
純虚数は実部が0で0でない。\(z+\bar z=2\,\mathrm{Re}(z)=0\)。
例題
\(z=(a-3)+2i\) が純虚数となる \(a\) を求めよ。
解説
実部を0（虚部は0でない）。
\(a-3=0\)（虚部 \(2\ne0\)）実部=0
\(a=3\)解く
答 \(a=3\)
第3章 複素数平面42
POINT
\(z\bar z=|z|^2\)、\(z+\bar z=2\,\mathrm{Re}(z)\)、\(z-\bar z=2i\,\mathrm{Im}(z)\)
共役との積は絶対値の2乗、和は実部の2倍。絶対値計算で \(z\bar z\) をよく使います。
例題
\(z=3+4i\) のとき \(z\bar z\) を求めよ。
解説
\(z\bar z=|z|^2\)。
\(3^2+4^2=25\)絶対値の2乗
答 \(25\)
第3章 複素数平面43
POINT
極形式 \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)（\(r=|z|,\ \theta=\arg z\)）
大きさ \(r\) と偏角 \(\theta\) で表す形。回転・累乗に強い表現です。
例題
\(z=1+\sqrt3\,i\) を極形式で表せ。
解説
絶対値と偏角を求める。
\(r=\sqrt{1+3}=2\)、\(\theta=60^\circ\)\(r,\theta\)
\(2(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)\)極形式
答 \(2(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)\)
第3章 複素数平面44
POINT
積は「絶対値は積、偏角は和」（ド・モアブル \(z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)）
掛け算で大きさは掛け、角度は足す。累乗は角も \(n\) 倍になります。
例題
\((\cos30^\circ+i\sin30^\circ)^3\) を求めよ。
解説
偏角を3倍する。
\(\cos90^\circ+i\sin90^\circ=i\)ド・モアブル
答 \(i\)
第3章 複素数平面45
POINT
\(\alpha\) を \(\beta\) 中心に \(\theta\) 回転した点は \((\alpha-\beta)(\cos\theta+i\sin\theta)+\beta\)
中心を原点に移し、\((\cos\theta+i\sin\theta)\) を掛けて回転し戻します。原点中心なら \(z(\cos\theta+i\sin\theta)\)。
例題
点 \(z\) を原点中心に \(90^\circ\) 回転した点を \(z\) で表せ。
解説
\(\cos90^\circ+i\sin90^\circ=i\) を掛ける。
\(z(\cos90^\circ+i\sin90^\circ)=iz\)回転
答 \(iz\)
第3章 複素数平面46
POINT
3点 \(\alpha,\beta,\gamma\) が同一直線上 ⇔ \(\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\) が実数
商の偏角が \(0\) か \(\pi\)（＝実数）なら3点は一直線。純虚数なら直角です。
例題
解説
2辺の比の偏角で判定。
\(\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\) が実数偏角0またはπ
答 \(\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\) が実数
第3章 複素数平面47
POINT
\(\angle C=90^\circ\)（\(\gamma\) が直角）⇔ \(\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\) が純虚数
2辺の比の偏角が \(\pm90^\circ\)＝純虚数なら直角。同一直線（実数）と対の条件です。
例題
\(\angle C=90^\circ\) の条件を、複素数の商で答えよ。
解説
商が純虚数＝直角。
\(\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\) が純虚数偏角±90°
答 \(\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}\) が純虚数
第3章 複素数平面48
POINT
正三角形 ⇔ \((\beta-\gamma)(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)=\alpha-\gamma\)
\(\gamma\) 中心に \(\overrightarrow{CB}\) を60°回転すると \(\overrightarrow{CA}\) になる関係。直角二等辺なら90°回転。
例題
解説
一辺を回して他辺に重ねる。
\(60^\circ\) 回転で重なる正三角形
答 \(60^\circ\)
第3章 複素数平面49
POINT
\(|z-\alpha|=r\) は、中心 \(\alpha\)・半径 \(r\) の円を表す
\(\alpha\) からの距離が一定 \(r\) の点。複素数平面での円の方程式です。
例題
解説
中心からの距離が一定。
中心 \(2+i\)、半径 \(3\) の円距離＝r
答 中心 \(2+i\)・半径 \(3\) の円
第3章 複素数平面50
POINT
\(|z-\alpha|=|z-\beta|\) は、2点 \(\alpha,\beta\) を結ぶ線分の垂直二等分線
2定点から等距離の点。アポロニウスの円で比が1のときにあたります。
例題
解説
2点から等距離の点の集合。
\(1\) と \(i\) の垂直二等分線等距離
答 \(1\) と \(i\) を結ぶ線分の垂直二等分線
第3章 複素数平面51
POINT
\(|z-\alpha|=s|z-\beta|\)（\(s\ne0,1\)）は円を表す（アポロニウスの円）
2定点からの距離の比が一定の点は円。\(s=1\) なら垂直二等分線でした。
例題
\(|z|=2|z-3|\) はどんな図形か（形状のみ）。
解説
距離の比が一定＝円。
アポロニウスの円\(s\ne1\)
答 円（アポロニウスの円）
第3章 複素数平面52
POINT
\(z^n=\alpha\) は、\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) とおき、\(\alpha\) の極形式と \(r,\theta\) を比較
絶対値は \(r^n=|\alpha|\)、偏角は \(n\theta=\arg\alpha+2k\pi\)。\(n\) 個の解（正 \(n\) 角形の頂点）が出ます。
例題
\(z^3=1\) の解は複素数平面でどんな配置か。
解説
極形式で \(r,\theta\) を比較。
単位円上に等間隔で3個正三角形の頂点
答 単位円に内接する正三角形の頂点
第3章 複素数平面53
POINT
\(1+\alpha+\alpha^2+\cdots+\alpha^{n-1}=\dfrac{1-\alpha^n}{1-\alpha}\)（\(\alpha\ne1\)）
等比数列の和。1の \(n\) 乗根では \(\alpha^n=1\) となり和が0になることがよく使われます。
例題
1の3乗根 \(\omega\)（\(\ne1\)）で \(1+\omega+\omega^2\) を求めよ。
解説
等比の和の公式。
\(\dfrac{1-\omega^3}{1-\omega}=\dfrac{1-1}{1-\omega}=0\)\(\omega^3=1\)
答 \(0\)
第3章 複素数平面54
POINT
\(z+\dfrac{a}{z}=b\) の形は、両辺に \(z\) をかけて2次方程式にする
分母を払って \(z^2-bz+a=0\)。相反的な形は2次に帰着します。
例題
\(z+\dfrac1z=1\) を \(z\) の2次方程式にせよ。
解説
両辺に \(z\) をかける。
\(z^2-z+1=0\)分母を払う
答 \(z^2-z+1=0\)
第3章 複素数平面55
複素数には大小がありません。不等号があれば実数という条件が隠れています。
例題
解説
複素数に大小はない。
不等号がつく → 実数隠れた条件
答 実数
第3章 複素数平面56
POINT
\(z\to w\) の変換問題は、\(z\) を代入して \(w\) だけの式にする
\(w=f(z)\) を \(z\) について解き、\(z\) の条件（円など）に代入して \(w\) の軌跡を求めます。
例題
解説
\(z\) を消す。
\(z\) を代入して \(w\) だけの式に軌跡を求める
答 \(w\) だけの式
第4章 式と曲線57
POINT
放物線 \(y^2=4px\) は、焦点 \((p,0)\)・準線 \(x=-p\)・頂点は原点
焦点と準線から等距離の点の集合。焦点と準線は原点をはさんで対称です。
例題
解説
\(4p\) を8に合わせる。
\(4p=8\Rightarrow p=2\)係数比較
焦点 \((2,0)\)\((p,0)\)
答 \((2,0)\)
第4章 式と曲線58
POINT
楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt b\)）は焦点 \((\pm\sqrt{a^2-b^2},0)\)、距離の和 \(2a\)
長軸 \(2a\)・短軸 \(2b\)。2焦点からの距離の和が一定（\(2a\)）の点の集合です。
例題
楕円 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) の焦点を求めよ。
解説
\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。
\(c=\sqrt{25-9}=4\)焦点距離
焦点 \((\pm4,0)\)\((\pm c,0)\)
答 \((\pm4,0)\)
第4章 式と曲線59
POINT
双曲線 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) は焦点 \((\pm\sqrt{a^2+b^2},0)\)、漸近線 \(y=\pm\dfrac ba x\)
頂点 \((\pm a,0)\)、2焦点からの距離の差が一定（\(2a\)）。曲線は漸近線に近づきます。
例題
双曲線 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\) の焦点と漸近線を求めよ。
解説
\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)、漸近線は \(\pm\frac ba\)。
\(c=\sqrt{9+16}=5\)焦点距離
焦点 \((\pm5,0)\)、漸近線 \(y=\pm\dfrac43 x\)焦点・漸近線
答 焦点 \((\pm5,0)\)、漸近線 \(y=\pm\dfrac43 x\)
第4章 式と曲線60
POINT
楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上の点は \(x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta\) と置ける
円 \((\cos\theta,\sin\theta)\) をx方向a倍・y方向b倍したもの。最大最小問題で有効です。
例題
楕円 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) 上の点を \(\theta\) で表せ。
解説
\(a=2,b=1\) を入れる。
\((2\cos\theta,\ \sin\theta)\)媒介変数
答 \((2\cos\theta,\ \sin\theta)\)
第4章 式と曲線61
POINT
曲線を \(y\) 軸方向に \(k\) 倍したグラフは、\(x=X,\ y=kY\) とすれば求まる
円を縦に縮める/伸ばすと楕円。\(Y=\dfrac yk\) を元の式に代入します。
例題
円 \(x^2+y^2=4\) を \(y\) 軸方向に \(\dfrac12\) 倍した曲線を求めよ。
解説
\(Y=2y\) を代入。
\(x^2+(2y)^2=4\)縦2倍を戻す
\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)楕円
答 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)
第4章 式と曲線62
POINT
2次曲線の接線は、①代入して重解（\(D=0\））②接点公式 を使う
楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上の \((x_1,y_1)\) の接線は\(\dfrac{x_1 x}{a^2}+\dfrac{y_1 y}{b^2}=1\)。
例題
楕円 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) 上の点 \((2,0)\) における接線を求めよ。
解説
接点公式に代入。
\(\dfrac{2x}{4}+0\cdot y=1\)接点公式
\(x=2\)整理
答 \(x=2\)
第4章 式と曲線63
POINT
2次曲線と直線の交点の数は、代入して得た2次方程式の実数解の個数に等しい
直線を代入し判別式の符号で判定。\(D\gt0\) で2交点、\(D=0\) で接する、\(D\lt0\) で交わらない。
例題
2次曲線と直線の交点の数は、何の実数解の個数で決まるか。
解説
代入して2次方程式に。
得た2次方程式の実数解の個数判別式で判定
答 代入して得た2次方程式の実数解の個数
第4章 式と曲線64
POINT
媒介変数表示の曲線は、媒介変数を消して \(x,y\) の式にする
\(x,y\) を \(t\) で表した式から\(t\) を消去。三角関数なら \(\sin^2+\cos^2=1\) を使うことが多い。
例題
\(x=\cos t,\ y=\sin t\) から \(t\) を消して \(x,y\) の式にせよ。
解説
\(\sin^2+\cos^2=1\) を使う。
\(x^2+y^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1\)tを消去
答 \(x^2+y^2=1\)
第4章 式と曲線65
POINT
媒介変数の \(\dfrac{dy}{dx}\) は、\(\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\) で求める
\(x,y\) を \(t\) で微分し比をとる。接線の傾きが \(t\) で表せます。
例題
\(x=t^2,\ y=t^3\) のとき \(\dfrac{dy}{dx}\) を \(t\) で表せ。
解説
それぞれ \(t\) で微分して比。
\(\dfrac{dy}{dt}=3t^2,\ \dfrac{dx}{dt}=2t\)tで微分
\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}\)比をとる
答 \(\dfrac{3t}{2}\)
第4章 式と曲線66
POINT
極座標 \((r,\theta)\) は、直交座標で \((r\cos\theta,\ r\sin\theta)\)
\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)。逆に \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)。
例題
極座標 \(\left(2,\dfrac\pi3\right)\) を直交座標で表せ。
解説
\(r\cos\theta,\ r\sin\theta\) を計算。
\((2\cos60^\circ,\ 2\sin60^\circ)\)変換
\(=(1,\ \sqrt3)\)計算
答 \((1,\ \sqrt3)\)
第4章 式と曲線67
POINT
極を中心とする半径 \(a\) の円の極方程式は \(r=a\)
中心が極なら\(r\) が一定。中心が極でない円は、極・中心・円上の点の三角形（余弦定理）で立式します。
例題
極を中心とする半径 \(3\) の円の極方程式を答えよ。
解説
\(r\) が一定。
\(r=3\)半径一定
答 \(r=3\)
第4章 式と曲線68
POINT
極方程式で \(r\lt0\) は、半直線を逆向き（\(\theta+\pi\) 方向）にとることを意味する
\(r\lt0\) の点は角 \(\theta+\pi\) 方向に \(|r|\) 進んだ点と同じ。曲線の全体像を掴むときに注意します。
例題
極方程式で \(r\lt0\) は、どちら向きにとるか。
解説
逆向きにとる。
\(\theta+\pi\) 方向に \(|r|\)逆向き
答 \(\theta\) と反対（逆向き）