第1章 数と式8
POINT
カッコが3つ以上ある式の展開は、かける順番を工夫する
前から順にかける必要はありません。「かけると形が簡単になる組」から先に計算するのがコツ。とくに和と差の積 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) が作れる並べ替えは強力です。
例題
次の式を展開せよ。
\[(x+1)(x^2+1)(x-1)\]
解説
和と差の積が作れるように、\((x+1)\) と \((x-1)\) を先にかける。
\((x+1)(x-1)=x^2-1\)まず和と差の積
\((x^2-1)(x^2+1)=x^4-1\)ここでも和と差の積
答 \(x^4-1\)
第1章 数と式9
POINT
同じ項を含む式の展開は、\(=A\) などで置き換える
共通のかたまりを1文字 \(A\) と見れば、ふつうの2次式の展開に早変わり。最後に \(A\) を元に戻すだけです。
例題
次の式を展開せよ。
\[(x+y+1)(x+y-3)\]
解説
共通の \(x+y\) を \(A\) とおくと、ただの2次式になる。
\((A+1)(A-3)=A^2-2A-3\)\(A=x+y\) とおいた
\(=(x+y)^2-2(x+y)-3\)\(A\) を元に戻す
答 \(x^2+2xy+y^2-2x-2y-3\)
第1章 数と式10
POINT
因数分解は、最低次の文字で整理することから始める
2種類以上の文字が混じった式は、次数がいちばん低い文字について並べ替えるのが鉄則。次数が低いほど「〇×（ ）」の形にまとまり、共通因数が見えてきます。
例題
次の式を因数分解せよ。
\[x^2-xy+x-y\]
解説
\(x\) は2次・\(y\) は1次。次数の低い \(y\) について整理する。
\(=x(x+1)-y(x+1)\)項を分けて共通因数でくくる
\(=(x+1)(x-y)\)共通の \((x+1)\) でくくる
答 \((x+1)(x-y)\)
第1章 数と式11
POINT
分母に \(\sqrt{\ }\) がある場合は、有理化する
分母の根号は消すのが基本。\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) を利用し、分母の符号を反対にしたものを分母・分子にかけます。
例題
次の数の分母を有理化せよ。
\[\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}\]
解説
分母の符号を変えた \(\sqrt{3}+1\) を、分母・分子にかける。
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\)符号違いをかける
\(=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\)分母は和と差の積で \(3-1=2\)
答 \(\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\)
第1章 数と式12
POINT
二重根号を外すには、\(\sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}\) の「2」を作る
\(\sqrt{\,a\pm 2\sqrt{b}\,}\) は、たして \(a\)・かけて \(b\) になる2数を見つければ \(\sqrt{p}\pm\sqrt{q}\) と外せます。まず中を「\(2\sqrt{\ }\)」の形に整えるのが第一歩。
例題
次の二重根号を外せ。
\[\sqrt{7+4\sqrt{3}}\]
解説
まず根号の中を「\(2\sqrt{\ }\)」の形にそろえる。
\(\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+2\sqrt{12}}\)\(4\sqrt{3}=2\sqrt{12}\) で「2」を作る
\(=\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}\)たして7・かけて12 → 3と4
答 \(2+\sqrt{3}\)
第1章 数と式13
POINT
無理数の大きさは、すべて \(\sqrt{\ }\) の中に入れて比較する
\(k\sqrt{a}=\sqrt{k^2 a}\)。係数を根号の中に押し込めば、あとは中身の数を比べるだけ。正の数どうしなら、中が大きいほど大きい数です。
例題
\(2\sqrt{3}\) と \(3\sqrt{2}\) の大小を比べよ。
解説
係数を根号の中に入れて、中身の数だけで比べる。
\(2\sqrt{3}=\sqrt{12},\quad 3\sqrt{2}=\sqrt{18}\)\(k\sqrt{a}=\sqrt{k^2 a}\)
\(12\lt 18 \ \Rightarrow\ \sqrt{12}\lt\sqrt{18}\)中が大きいほど大きい
答 \(2\sqrt{3}\lt 3\sqrt{2}\)
第1章 数と式14
POINT
「\(a\lt b\lt c\)」は、「\(a\lt b\) かつ \(b\lt c\)」と言い換える
3つ並んだ不等式は、2つの不等式に分けて別々に解き、最後に両方を満たす範囲（＝重なり）をとります。
例題
次の不等式を解け。
\[1\lt 2x-3\lt 5\]
解説
\(1\lt 2x-3\lt 5\) を2つに分けて解く。
\(1\lt 2x-3 \ \Rightarrow\ x\gt 2\)左側の不等式
\(2x-3\lt 5 \ \Rightarrow\ x\lt 4\)右側の不等式
両方を満たす範囲（重なり）をとる。
答 \(2\lt x\lt 4\)
第1章 数と式15
POINT
\(x\) の方程式を解くとき、\(x\) の係数が \(0\) でも \(0\cdot x\) として残す
\(ax=b\) をいきなり「\(x=\dfrac{b}{a}\)」と割ってはいけません。\(a=0\) の可能性があるからです。係数が \(0\) のときを \(0\cdot x=b\) の形で残し、場合分けして考えます。
例題
\(a\) を定数とする。次の方程式を解け。
\[ax=2\]
解説
係数 \(a\) が \(0\) かどうかで場合分けする。
\(a\neq 0\) のとき \(x=\dfrac{2}{a}\)両辺を \(a\) で割れる
\(a=0\) のとき \(0\cdot x=2\)左辺は常に0で成り立たない
答 \(a\neq0\) のとき \(x=\dfrac{2}{a}\)、\(a=0\) のとき解なし
第2章 集合と命題16
POINT
集合が不等式の範囲で与えられたら、数直線上で考える
共通部分 \(A\cap B\) や和集合 \(A\cup B\) は、範囲を数直線に描いて重なり・全体を読むのが確実。頭の中だけで処理しないのがコツです。
例題
\(A=\{x\mid -1\le x\lt 3\}\)、\(B=\{x\mid 1\lt x\le 5\}\) のとき \(A\cap B\) を求めよ。
解説
2つの範囲を数直線に描き、重なる部分を読む。
\(A:\ -1\le x\lt 3\)左寄りの範囲
\(B:\ 1\lt x\le 5\)右寄りの範囲
重なるのは \(1\lt x\lt 3\)。
答 \(A\cap B=\{x\mid 1\lt x\lt 3\}\)
第2章 集合と命題17
POINT
\(A\subset B\) を示すには、「\(x\in A\) なら \(x\in B\)」を示す
包含 \(A\subset B\) の定義は「Aのどの要素もBに入る」。要素を1つとり、Bの条件を満たすことを追いかけます。
例題
\(A=\{4\text{の倍数}\}\)、\(B=\{2\text{の倍数}\}\) のとき \(A\subset B\) を示せ。
解説
\(A\) の要素を1つとり、\(B\) の条件を満たすことを示す。
\(x\in A \Rightarrow x=4k\)（\(k\) は整数）4の倍数
\(x=2\cdot(2k)\) だから2の倍数よって \(x\in B\)
答 ゆえに \(A\subset B\)
第2章 集合と命題18
POINT
\(A=B\) を示すには、\(A\subset B\) かつ \(B\subset A\) を示す
2つの集合が等しいことは、互いに相手を含むことと同値。両向きを1つずつ示します。
例題
\(A=\{x\mid x^2=1\}\)、\(B=\{-1,\ 1\}\) が等しいことを示せ。
解説
両向きの包含を示す。
\(x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1\)\(A\subset B\)
\(-1,\ 1\) はともに \(x^2=1\) を満たす\(B\subset A\)
答 ゆえに \(A=B\)
第2章 集合と命題19
POINT
\(p\Rightarrow q\) の真偽は、集合の包含関係で考える
条件 \(p,q\) の表す集合を \(P,Q\) とすると、\(p\Rightarrow q\) が真 ⇔ \(P\subset Q\)。範囲で見れば一目です。
例題
「\(x\gt 3 \Rightarrow x\gt 1\)」の真偽を調べよ。
解説
条件の表す範囲の包含を見る。
\(P=\{x\mid x\gt 3\},\ Q=\{x\mid x\gt 1\}\)各条件の集合
\(P\subset Q\)（\(x\gt 3\) なら必ず \(x\gt 1\)）範囲が内側
答 真
第2章 集合と命題20
POINT
無理数であることの証明は、背理法を使うことが多い
「無理数である」を直接示すのは難しいので、いったん有理数と仮定して矛盾を導くのが定石です。
例題
\(\sqrt{2}\) が無理数であることの証明の方針を述べよ。
解説
有理数と仮定して矛盾を導く（背理法）。
\(\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}\)（既約分数）と仮定有理数と仮定
2乗して \(m^2=2n^2\) → \(m,n\) がともに偶数既約に矛盾
答 矛盾。ゆえに \(\sqrt{2}\) は無理数
第2章 集合と命題21
POINT
\(a+b\sqrt{2}=0\)（\(a,b\) は有理数）なら \(a=b=0\) しかない
もし \(b\neq 0\) なら \(\sqrt{2}=-\dfrac{a}{b}\) となり「無理数＝有理数」で矛盾。だから \(b=0\)、続いて \(a=0\)。これを無理数の相等といいます。
例題
有理数 \(a,b\) が \(a+b\sqrt{2}=3+\sqrt{2}\) を満たすとき、\(a,b\) を求めよ。
解説
「有理数部＝有理数部・\(\sqrt{2}\) の係数＝係数」で比べる。
\((a-3)+(b-1)\sqrt{2}=0\)右辺を移項
\(a-3=0,\ b-1=0\)無理数の相等
答 \(a=3,\ b=1\)
第3章 二次関数22
POINT
放物線の式は、\(y=a(x-p)^2+q\)（頂点）・\(y=a(x-s)(x-t)\)（交点）などで置く
分かっている情報に合わせて置き方を選ぶと速い。頂点が分かれば \(a(x-p)^2+q\)、x軸との交点が分かれば \(a(x-s)(x-t)\) で置きます。
例題
頂点が \((2,-1)\)、点 \((0,3)\) を通る放物線を求めよ。
解説
頂点が分かるので、標準形で置く。
\(y=a(x-2)^2-1\)頂点 \((2,-1)\)
\((0,3)\) を代入：\(3=4a-1 \Rightarrow a=1\)通る点を代入
答 \(y=(x-2)^2-1\)
第3章 二次関数23
POINT
「2次関数 \(y=ax^2+bx+c\)」は \(a\neq0\)、「関数 \(\cdots\)」は \(a=0\) の可能性もある
「2次」と明記されていれば \(a\neq0\) が保証されます。単に「関数」なら \(a=0\)（1次関数など）も起こりうるので、\(a=0\) と \(a\neq0\) の場合分けが要ります。
例題
関数 \(y=ax^2+2x+1\) が1次関数になる \(a\) を求めよ。
解説
1次関数になるのは \(x^2\) の項が消えるとき。
\(x^2\) の係数 \(a=0\)係数を0に
このとき \(y=2x+1\)たしかに1次関数
答 \(a=0\)
第3章 二次関数24
POINT
2次関数の最大値・最小値は、「頂点」か「定義域の端」でとる
まず平方完成して頂点を出し、グラフをかくのが基本。定義域があるときは、頂点が範囲に入るかどうかで最大・最小の場所が変わります。
例題
\(y=x^2-4x+5\)（\(0\le x\le 3\)）の最大値・最小値を求めよ。
解説
平方完成してグラフをかき、定義域と照らす。
\(y=(x-2)^2+1\)頂点 \((2,1)\)
頂点 \(x=2\) は範囲内 → 最小 \(1\)頂点で最小
端は \(x=0\) で \(5\)、\(x=3\) で \(2\) → 最大 \(5\)遠い端で最大
答 最大 \(5\)（\(x=0\)）、最小 \(1\)（\(x=2\)）
第3章 二次関数25
POINT
2次方程式は、①因数分解できればする、②できなければ解の公式
まず因数分解を試すのが速い。無理なら解の公式 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) を使います。
例題
解説
因数分解できないので解の公式を使う。
\(x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-12}}{2}\)\(b^2-4ac=13\)
\(=\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}\)整理する
答 \(x=\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}\)
第3章 二次関数26
POINT
2次方程式の実数解の個数は、グラフ（判別式 \(D=b^2-4ac\)）で考える
グラフがx軸と何回交わるか＝実数解の個数。\(D\gt0\) で2個、\(D=0\) で1個、\(D\lt0\) で0個です。
例題
\(x^2-4x+k=0\) が異なる2つの実数解をもつ \(k\) の範囲を求めよ。
解説
異なる2解 ⇔ x軸と2点で交わる ⇔ \(D\gt0\)。
\(D=(-4)^2-4k=16-4k\)判別式
\(16-4k\gt0\)\(D\gt0\) を解く
答 \(k\lt 4\)
第3章 二次関数27
POINT
グラフから \(a,b,c\) の符号を求めるには、①凹凸 ②軸の位置 ③点の代入
①凹凸で \(a\)、②軸 \(x=-\dfrac{b}{2a}\) の左右で \(b\)、③\(y\) 切片（\(x=0\)）で \(c\) の符号が読めます。
例題
図（下に凸・軸は \(y\) 軸の右・\(y\) 切片が負）について \(a,b,c\) の符号を答えよ。
解説
3つの手がかりを順に読む。
下に凸 → \(a\gt0\)①凹凸
軸 \(-\dfrac{b}{2a}\gt0\)、\(a\gt0\) より \(b\lt0\)②軸が右
\(y\) 切片が負 → \(c\lt0\)③\(x=0\) で代入
答 \(a\gt0,\ b\lt0,\ c\lt0\)
第3章 二次関数28
\(ax^2+bx+c\gt 0\) はグラフがx軸より上にある \(x\) の範囲。まず \(=0\) の解を求め、上に凸・下に凸とあわせて範囲を読みます。
例題
次の不等式を解け。
\[x^2-x-6\gt 0\]
解説
\(=0\) の解を求め、下に凸のグラフで上側を読む。
\(x^2-x-6=(x+2)(x-3)=0 \Rightarrow x=-2,\ 3\)x軸との交点
下に凸でx軸より上 → 交点の外側グラフの上側
答 \(x\lt -2\) または \(x\gt 3\)
第3章 二次関数29
POINT
放物線がx軸から切り取る線分の長さは、解を \(\alpha\lt\beta\) として \(\beta-\alpha\)
x軸との2交点の \(x\) 座標が \(\alpha,\beta\)。線分の長さはその差 \(\beta-\alpha\) です。
例題
\(y=x^2-5x+4\) がx軸から切り取る線分の長さを求めよ。
解説
x軸との交点を求め、その差をとる。
\(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0 \Rightarrow x=1,\ 4\)交点のx座標
長さ \(=4-1=3\)\(\beta-\alpha\)
答 \(3\)
第3章 二次関数30
POINT
2次方程式の解の存在範囲は、①頂点の位置 ②区間端での \(f\) の符号で条件を立てる
グラフを思い浮かべ、判別式・軸の位置と端での符号 \(f(k)\)を組み合わせて、解がどこにあるかを式にします。
例題
\(x^2-2mx+m+2=0\) が異なる2つの正の解をもつ \(m\) の範囲を求めよ。
解説
「異なる2解」「ともに正」を条件式にする。
\(\tfrac{D}{4}=m^2-(m+2)\gt0 \Rightarrow m\lt-1,\ 2\lt m\)異なる2解
軸 \(x=m\gt0\)2解が正（軸が正）
\(f(0)=m+2\gt0 \Rightarrow m\gt-2\)端の符号
答 \(m\gt 2\)
第3章 二次関数31
POINT
文字を置き換えたときは、前の文字がもっていた条件を引き継ぐ
\(t=x^2\) や \(t=x+\dfrac{1}{x}\) などと置換したら、新しい文字 \(t\) の動く範囲を必ず調べます。忘れると最大・最小がずれます。
例題
\(x\ge 0\) のとき \(t=x^2\) のとりうる値の範囲を求めよ。
解説
元の文字の条件を、新しい文字に引き継ぐ。
\(x\ge 0\) を2乗する条件を引き継ぐ
\(t=x^2\ge 0\)\(t\) の範囲
答 \(t\ge 0\)